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INFINITO 563 INFINITO
luta, cujo modo de ser não é uma substância,
mas um processo que, apesar de finito, é sempre
diferente" (Ibid., III, 6, 206 a 27). Portanto,
não é I. aquilo fora do qual não há nada, como
se acredita comumente, mas sim aquilo fora do
qual sempre há alguma coisa; conseqüentemente
o I. participa mais do conceito de parte
que do conceito de todo (Ibid., III, 6, 206 b 32;
207 a 27). Esse conceito aristotélico era utilizado
por Lucrécio para defender a doutrina
epicurista da infinidade do espaço, expresso
com a imagem de uma flecha lançada a partir
do limite extremo do universo, admitido por
hipótese; quer a flecha encontre um obstáculo,
quer continue além, o limite extremo do universo
não é mais o mesmo porque é apenas o
ponto de partida da flecha (De rer. nat., I, 967-
982). Também nesta imagem I. é aquilo de que
se pode sempre tomar uma parte, e aquilo que
se toma é sempre finito mas sempre diferente.
Este conceito de I. é essencialmente negativo:
consiste na nâo-exauribilidade de determinadas
grandezas submetidas a certas operações,
que são a composição (acréscimo de partes
sempre novas) e a divisão em partes sempre
novas. A primeira operação tende ao infinitamente
grande; a segunda, ao infinitamente pequeno
(infinitésimo [v.]): ambas definem o
conceito de I. como inexauribilidade de partes
dentro de partes. Mas assim entendido o conceito
é obviamente negativo: caracteriza a inexauribilidade
ou incompletitude de uma série.
Justamente a esse respeito Plotino observou
que I. é aquilo que não pode ser exaurido em
termos de .grandeza ou de número de suas
partes (Enn., VI, 9, 6). E Kant, do mesmo ponto
de vista, dizia: "O conceito verdadeiro (transcendental)
de infinidade é que a síntese seqüencial
da unidade na medição de um quantum nunca
pode ser acabada" (Crít. R. Pura, Dialética,
cap. 2, seç. 2). Essa espécie de I. foi denominada
pelos lógicos da Idade Média I. sincategoremático
(syncategorematicum), que é o I. entendido
como disposição (não qualidade) de
um sujeito, distinto do I. categoremático, que
seria o I. como qualidade ou como substância
(PEDRO HISPANO, Summ. log., 12, 57; OCKHAM,
In Sent., I, d. 17, q. 8). Esse mesmo I. foi definido
pela matemática do séc. XVIII e da primeira
metade do séc. XIX mediante o conceito de limite
(como o campo das séries, das sucessões,
etc), mas os matemáticos daquela época não
lhe atribuíram a posição de tipo de grandeza
em si. Gauss dizia numa carta de 1831: "Protes-
to contra o emprego de grandeza I. como
algo completo, emprego que nunca foi admitido
em matemática. O I. é só uma façon de
parler, a rigor, fala-se de limites, dos quais
algumas relações são aproximadas quando se
quer, enquanto a outras relações é permitido
crescer além de qualquer medida", (cf. GEY-
MONAT, História e filosofia da analise infinitesimal,
1947, pp. 174-75). I paradossi dell'1.
(185D de Bernardo Bolzano é uma obra que
marca a primeira abordagem decisiva de um
novo conceito do infinito.
b) O segundo é o de I. categórico ou (menos
propriamente se diz) atual, ao qual só a matemática
moderna deu forma rigorosa. Contudo,
a matemática chegou a esse conceito através
das discussões tradicionais sobre os
denominados paradoxos do infinito. Já R. Bacon,
para refutar a infinidade do mundo, fazia notar
que, a admitir-se o I., deve-se concluir que a
parte é maior que o todo a que pertence (Opus
tertium, ed. Brewer, 41, pp. 141-42). Argumentos
semelhantes foram repetidos freqüentemente
na Escolástica do séc. XIV, que no entanto,
com Ockham, deu a tais argumentos uma resposta
que indica o caminho.a ser depois seguido
pela matemática da segunda metade do séc.
XIX. De fato Ockham afirma: "Não é incompatível
que a parte seja igual e não menor que
seu todo porque isso acontece toda vez que
uma parte do todo é I. (...) Isso também acontece
na quantidade descontínua ou em qualquer
multiplicidade, em que uma das partes tenha
unidades não menores que as contidas no
todo. Assim, em todo o universo não existe um
número maior de partes que numa fava, porque
numa fava há infinitas partes. Portanto,
o princípio de que o todo é maior que a parte
vale somente para todos os compostos de
partes integrantes finitas" (Cent. Theol., 17 C;
Quodl, I, q. 9). Essa corajosa limitação do valor
de um axioma, que então parecia evidente,
não teve seguidores durante muito tempo. O
próprio Galilei, para evitar a possibilidade de
igualdade entre a parte e o todo (a propósito
da relação entre os quadrados e a série natural
dos números), afirmou que "os atributos 'igual',
'maior' e 'menor' não têm lugar nos I., mas só nas
quantidades finitas" (Scienze nuove, op., VIII,
p. 79), deixando assim inalterada a verdade do
pretenso axioma. Este acabaria por ser derrubado,
sendo declarado fruto de uma generalização
falaz (cf. RUSSELL, Principies of Mathematics,
1903, p. 360), só quando G. Cantor