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ANTINOMIAS 64 ANTINOMIAS
mas como membro e deve, por isso, pertencer
à classe de tais classes. Esse paradoxo publicado
por Russel em 1902 deu depois lugar à
reorganização feita por Whitehead e Russel na
lógica matemática (Principia mathematica,
1910-13). Outros paradoxos são os de Kõning
(1905), de Richard (1906), de Grelling (1908),
de Jourdain (1913); mas, como notou Russell,
pode haver um número indefinido de paradoxos
com a mesma característica, a auto-referência
ou a reflexividade. Em cada um deles se diz
alguma coisa de todos os casos de um dado gênero
e, do que se diz, nasce um novo caso que é e
não é da mesma espécie daqueles aos quais o
todos se refere. Portanto, a solução óbvia das A.
é a que apresenta regras capazes de impedir a
referência auto-reflexiva de onde nascem as A.
Tal é o princípio adotado por Russell: "Tudo
o que implica o todo de uma coleção não deve
ser termo da coleção", ou inversamente: "Se,
admitindo que certa coleção tem um total, ela
teria membros definíveis somente em termo
daquele total, então a dita coleção não tem total"
(Mathematical Logic asBased on the Theory
of Types, 1908), em Logic and Knowledge, p.
63). A mesma exigência era apresentada por
Poincaré, na forma da exclusão das definições
impredicativas (v.), isto é, das definições que
implicam um círculo vicioso.
Todavia, essa simples exigência negativa,
sobre a qual todos os lógicos estão de acordo,
não é suficiente porque não fornece um critério
exato para distinguir o uso legítimo do ilegítimo
da palavra todos. E, sobre qual possa
ser esse critério, os lógicos não estão de acordo.
Contudo, é possível distinguir dois tipos de
soluções que podem ser atribuídas, respectivamente,
a Russell e a Frege.
l 9 A primeira solução consiste em distinguir
vários graus ou tipos de conceitos e em limitar
a predicabilidade de um tipo em relação ao
outro. A teoria dos tipos de Russell responde a
essa exigência. Segundo essa teoria, devem-se
distinguir: conceitos de tipo zero, que são os
conceitos individuais, isto é, os nomes próprios;
conceitos de tipo um, que são propriedades
de indivíduos (p. ex., branco, vermelho,
grande, etc); conceitos de tipo dois, que são
propriedades de propriedades, e assim por diante.
Isso posto, a regra para evitar a A. é a seguinte:
um conceito nunca pode servir de
predicado numa proposição cujo sujeito seja
de tipo igual ou maior do que o próprio conceito.
Essa teoria foi exposta por Russell no apêndice
de Principies of Mathematics, de 1903.
Em seguida, nessa teoria dos tipos, o próprio
Russell inseriu uma teoria dos graus, dando
lugar à chamada teoria ramificada dos tipos,
que ele expôs em 1908 (no artigo já citado)
e que está na base dos Principia mathematica.
Segundo essa teoria, são de grau zero ou elementares
as funções proposícionais (v.) ou
predicados que não contêm nenhuma variável
aparente (entendendo-se por variável aparente
a que se repete numa função independente
dela, não no sentido de ter o mesmo valor para
cada valor da variável, mas no sentido de que
os valores particulares desta não mudam a natureza
da função). São de grau um as funções
proposícionais apresentadas de uma variável
aparente cuja classe de variação é um conjunto
de objetos individuais. São de grau dois as apresentadas
de uma variável aparente que está no
lugar de uma função proposicional de grau um;
e assim por diante. Isto posto, estabelece-se a
regra segundo a qual não podem ser tratadas
no mesmo plano proposições que podem ser
extraídas de funções de grau diferente. P. ex.,
a A. do mentiroso depende do fato de a frase
"eu minto" ser interpretada no sentido de "Qualquer
que seja a minha presente afirmação x, x
é uma mentira", e de se identificar essa frase,
que chamamos y, com a afirmação x. Mas na
realidade y é de grau diferente de x porque x
é a variável aparente contida em y-. por isso,
não pode ser identificada com y. Em outras
palavras, quando se diz "eu minto", não se
entende que a própria frase "eu minto" seja
uma mentira, mas que é mentira alguma outra
frase a que ela se refere. Russell, porém, para
tornar possível, em matemática, o tipo de
asserção impropriamente expressa com a frase
(que dá lugar às A.) "todas as propriedades de
x", introduzia o axioma das classes ou axioma
de redutibilidade. Dizia: "Seja (p xuma função
de qualquer ordem de um argumento x, que
pode ser um indivíduo ou uma função de qualquer
ordem. Se cp é da ordem imediatamente
superior a x, escrevemos a função na forma
tylx; nesse caso, chamaremos (p de função predicativa.
Assim, a função predicativa de um
indivíduo é uma função de primeira ordem.
Para argumentos de tipo mais alto, as funções
predicativas tomam o lugar que as funções de
primeira ordem têm em relação aos indivíduos.
Concluímos então que toda função é equivalente,
para todos os seus valores, a alguma
função predicativa do mesmo argumento"
(.MathematicalLogic, 81-82). Russell acreditava