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AXIOMÁTICA 103 AXIOMÁTICA
da A., não é senão um desses modelos. A característica
da A. é prestar-se a interpretações
ou a realizações diferentes, das quais constitui
a estrutura lógica comum.
2° O método A. é um poderoso instrumento
de generalização lógica. Um dos modos de
generalização desse método consiste em destruir,
sucessivamente, alguns axiomas de certa
teoria dedutiva, conservando os outros e, assim,
construindo teorias cada vez mais abstratas.
O sistema gerado pela A. assim restringida
é coerente se o sistema inicial o for e constitui
uma generalização deste.
3 a A A. torna indispensável distinguir três
modos pelos quais é possível diferenciar uma
teoria dedutiva da outra. Consideremos o caso
da geometria euclidiana. Em primeiro lugar, se
modificarmos um dos seus postulados, obteremos
outras geometrias denominadas próximas
ou aparentadas; nesse sentido, fala-se de
pluralidade de geometrias. Em segundo lugar,
podemos efetuar a reconstrução lógica de qualquer
uma dessas geometrias de vários modos,
isto é, segundo A. diferentes; e essas A. serão
equivalentes entre si. Enfim, se escolhermos
uma dessas A., na maioria das vezes será possível
encontrar interpretações diferentes para
ela: haverá vários modelos dela, que serão chamados
isomorfos. Haverá assim: d) uma pluralidade
de geometrias; b) uma pluralidade de
A. para uma mesma geometria; c) uma pluralidade
de modelos para uma mesma A.
4 e A característica fundamental da A. é a
escolha e a clara enunciaçâo das proposições
primitivas de uma teoria, isto é, dos axiomas
que introduzem os termos indefiníveis e esta-
belecem as regras de uso indemonstráveis. A
escolha das noções primitivas é parte fundamental
da constituição de uma axiomática. Hoje
está claro, porém, que as próprias noções de
"primitivo", "indefinível" e "indemonstrável" são
relativas, no sentido de que um termo indefinível
ou uma proposição indemonstrável, dentro de
um sistema, podem ser definíveis ou demonstráveis
se as bases do sistema forem modificadas. P.
ex., na geometria euclidiana não se pode demonstrar
o postulado das paralelas, mas se
renunciarmos a demonstrar o teorema de que
a soma dos ângulos de um triângulo é igual a
dois retos, poderemos assumir essa proposição
como um axioma e demonstrar a unicidade
da paralela. Além disso, muitas vezes os termos
não definidos são implicitamente definidos pelo
conjunto dos postulados previamente escolhidos
(definição por postulados). Diz-se que a
escolha dos postulados é livre, mas na realidade
deve obedecer a determinadas condições
que a limitam notavelmente; para essas condições,
v. AXIOMA.
5 Q Já se disse (v. AXIOMA) que o limite fundamental
para a escolha dos axiomas é a sua
coerência ou compatibilidade. Todavia, um
teorema de Godel (1931) estabeleceu que uma
aritmética não contraditória comporta enunciados
não decididos e, entre esses enunciados,
está a nâo-contradição do sistema aritmético.
Em outros termos, se permanecermos no âmbito
de um sistema, não será possível estabelecer
a não-contradiçâo desse mesmo sistema.
Esse é um dos limites da A., além dos que foram
evidenciados pela corrente intuicionista dos matemáticos
(v. MATEMÁTICA).