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MATEMÁTICA 643 MATEMÁTICA
za, dureza e seu contrário, calor e frio, e das
outras qualidades opostas, limitando-se a considerar
apenas a quantidade e a continuidade,
ora em uma só dimensão, ora em duas, ora em
três, bem como os caracteres dessas entidades,
na medida em que são quantitativas e continuativas,
deixando de lado qualquer outro aspecto
delas. Conseqüentemente, estuda as posições
relativas e o que é inerente a elas: comensurabilidade
ou incomensurabilidade e proporções"
(AM., XI, 3, 1601 a 28; cf. Ms., II, 193 b 25).
Esse conceito de M. persistiu por muito tempo
e só no século passado começou a parecei' insuficiente
para exprimir todos os aspectos desse
campo de estudos. O próprio Kant traduzia-o
para a linguagem de sua filosofia. Para ele, a M.
distinguia-se da filosofia porque, enquanto esta
procede por meio de conceitos, a M. procede
por meio da construção de conceitos; mas a
construção de conceitos só é possível em VI.
com base na intuição aprioricio espaço, que é
a forma da quantidade em geral. E diz: "Quem
pensou distinguir a filosofia da M. dizendo que
esta tem como objeto apenas a quantidade tomou
o efeito pela causa. A forma do conhecimento
da M. é a causa de ela poder referir-se
unicamente a quantidades. Na verdade, só o
conceito de quantidade pode ser construído,
ou seja, exposto apríorinâ intuição do espaço"
(Crít. R. Pura, Dout. do mét., cap. I, seç. 1). O
conceito de M. como construção— portanto,
de algum modo como intuição— retornou na
M. contemporânea (v. mais adiante, n. 4). Mas
o conceito de M. como ciência da quantidade
íoi repetido numerosas vezes pelos tilósolos.
As longas e fantásticas di.squisiçòes cie Hegcl
sobre os conceitos fundamentais da M., na grande
Lógica, baseiam-se nele (WisseuschaftderLogik,
I. I, seç. II). F. mesmo muito mais tarde, Croce
reteria-se destemidamente a esse conceito: "As
M. fornecem conceitos abstratos que possibilitam
o juízo numérico; constróem os instrumentos
para contar e calcular e para realizar aquela
espécie de falsa síntese apriori, que é a numeração
dos objetos individuais" (Lógica, 1920, p.
238).
2 a A segunda concepção fundamental cia M.
considera-a como ciência das relações, portanto
estreitamente ligada à lógica ou parte desta.
Os antecedentes dessa concepção podem ser
encontrados em Descartes, que afirmava: "Embora
as ciências comumente chamadas de matemáticas
tenham objetos diferentes, estão de
acordo quanto a considerarem apenas a.s diver-
sas relações ou proporções neles encontradas"
(Discours, II). O conceito leibniziano de ars
comhincitoria (v.) ou M universal sem dúvida
pode ser considerado o início do conceito da
M. como lógica, mas não impedia que o próprio
Leibniz aderisse ainda ao conceito tradicional
de M. como arte da quantidade (Dearte
combitiatoria, 1666. Froemium, 7, em Op., ed.
Erdmann, p. 8). Obviamente, a estreita conexão
da M. com a lógica começou a evidenciarse
como característica da M. só quando a lógica
assumiu a forma de cálculo matemático. Segundo
Boole. uma vez. que "as últimas leis da lógica
têm forma matemática", a apresentação da
lógica em forma de cálculo não é arbitrária,
mas representa algo que decorre das próprias
leis do pensamento (Laws oj 'Ihougbt, 185),
cap. I, § 10). Os estudos de Declekind sobreos
fundamentos da aritmética (Was sínd un
solleu die Zahlen?. 1887) seguem a mesma
ordem de idéias. Mas quem mais contribuiu
para inscrever a M. no domínio da lógica foi
Frege e sua polêmica contra o psicologismo.
F.m um ensaio de 1884, Frege mostrava a importância
do conceito de relação para a definição
do número natural; dizia: "O conceito de
relação pertence — tanto quanto o conceito
simples — ao campo da lógica pura. Aqui não
interessa o conteúdo especial da relação, mas
exclusivamente sua forma lógica. Se algo pode
ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é
analítica e reconhecida a priori" (Hine logisbmathematische
lintersuchung überden Begriff
der Zabl, 1884, § 70, trad. it., em Aritmética e
lógica, p. 139).
A partir daí. pode-se considerar consolidada
a conexão da M. com a lógica através da
teoria das relações; essa conexão foi constantemente
pressuposta nas definições de M.
Todavia mesmo as definições que têm esse
fundamento em comum foram formuladas cie
modos diferentes. A formulação mais óbvia
de uma definição deste tipo é a que considera
a M. como "teoria das relações". Poincaré expunha
essa definição na forma geral, afirmando:
"A ciência é um sistema de relações. Só nas
relações deve-se buscar objetividade, e seria
vão buscá-la nos seres isolados" (La valeur de
iascience, 1905, p. 266). Esse conceito foi adotado
por Russell, que via a coincidência entre
M. e lógica justamente no âmbito da teoria das
relações e julgava que o tema comum das duas
ciências era a forma dos enunciados, definida
como "aquilo que permanece invariável quan-