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GEOMETRIA 484 GERAL
das propriedades projetivas das figuras, 1822),
consistia em sua invariância, ou seja, em permanecerem
as mesmas ao longo das transformações
que as figuras sofriam com a projeção. Em
1847, a G. de posição de Staudt, realizando
uma exposição rigorosa da G. descritiva, mostrava
que ela podia absorver em si toda a ciência
geométrica. Nessa mesma linha, o passo decisivo
foi dado por Felice Klein com seu programa
de Erlangen, que constituiu a aula inaugural
dada nessa Universidade em 1872. Segundo
Klein, a G. nada mais é que o estudo das
propriedades invariáveis em relação a um grupo
de transformações, entendendo por grupo
de transformações um conjunto de transformações
em que, ao lado de cada transformação
também está a transformação inversa (a que
destrói o efeito da primeira). Desse ponto de
vista, as propriedades a serem consideradas
"geométricas" dependem do grupo de operações
considerado fundamental. Quando este
último varia, também varia o significado do
termo geometria. Cayley demonstrou que o
grupo fundamental da G. projetiva é mais amplo
do que o das G. métricas. Outra ampliação
realiza-se quando se passa da G. descritiva à
topologia (ou analysissitus[v.]), que estuda as
propriedades invariantes em relação ao grupo
generalíssimo das transformações contínuas.
É fácil, portanto, perceber a diferença de
postura conceptual da G. contemporânea em
relação à clássica. Ao contrário desta última, a
G. contemporânea não pressupõe o objeto de
seu estudo (o espaço), ou seja, não pressupõe
que tal objeto tenha propriedades necessárias,
expressáveis em definições unívocas, em axiomas
evidentes e em postulados inevitáveis. São
consideradas objeto da G. as propriedades que
se mostrem invariantes por meio dos grupos de
transformações, mas ao mesmo tempo procuram-se
realizar tipos de transformações sempre
diferentes e considerar, portanto, invariâncias
cada vez mais gerais. A estrutura lógica dessa
G. obviamente nada mais tem a ver com a lógica
aristotélica e com a estrutura da G. euclidiana.
Poincaré descreveu essa estrutura como de
sistemas hipotético-dedutivos (v. CONVENCIO-
NALISMO). Ao mesmo tempo em que a forma lógica
de tais sistemas é extremamente rigorosa
e evita recorrer a elementos ou a operações
intuitivas, essa G. perdeu o caráter de necessidade
racional que caracterizava a G. clássica:
seu objeto não é uma substância racional, mas
as invariâncias que podem ser obtidas por meio
de operações oportunas livremente escolhidas.
GERAÇÃO (gr. YÉVEOIÇ; lat. Generatio; in.
Generation; fr. Génération; ai. Erzeugung; it.
Generazioné). Segundo Aristóteles, "a mudança
que vai do não-ser ao ser do sujeito, segundo
a contradição": a passagem da negação da
coisa à coisa. A G. pode ser absoluta, e nesse
caso é a passagem do não-ser ao ser da substância,
ou qualificada, e nesse caso é a passagem
do não-ser ao ser de uma qualidade da
substância (Fís., V, I 225 a 12 ss.). O oposto de
G. é corrupção (v.). G. e corrupção constituem
a primeira das quatro espécies de mudança,
mais precisamente a mudança substancial
Ubid, 225 a 1) (v. DEVIR).
GERAL (in. General; fr. General; ai. Gemeingültig;
it. Generalè).. Essa palavra foi introduzida
no uso moderno pelo empirismo inglês
que, por meio dela, designou o resultado de
uma operação de abstração; por isso, é algo diferente
de universal, interpretado como natureza
originária ou forma substancial. "As palavras",
diz Locke, "tornam-se G. pelo fato de
fazermos delas signos de idéias G.; e as idéias
tornam-se G. quando delas são afastadas as circunstâncias
de tempo e de lugar, bem como de
qualquer outra idéia que possa determiná-las
no sentido desta ou daquela existência particular.
Com esse meio da abstração, elas adquirem
a capacidade de representar mais indivíduos,
cada um dos quais, tendo em si conformidade
com aquela idéia abstrata, é (como dizemos)
daquela espécie" (Ensaio, III, 3, § 6). A idéia é
G., então, quando é o resultado da abstração;
a generalidade é obra do intelecto, embora a
ela corresponda a semelhança das coisas naturais.
Como não existem naturezas ou formas
universais, o universal reduz-se ao G., e às vezes
Locke emprega os dois termos como sinônimos
(Jbid., III, 3, § 11). Esse termo era aceito
com este sentido por Berkeley (Principies of
Knowledge, Intr., § 12) e por Hume (Treatise, I,
1,7). Leibniz aceitava essa palavra e seu conceito,
apesar de afirmar que desse conceito não
derivava a negação das essências universais.
Dizia: "A generalidade consiste na semelhança
das coisas individuais entre si, e essa semelhança
é uma realidade" (Nouv. ess., III, 3, 11).
Stuart Mill aceitava essa terminologia, distinguindo
substantivos individuais ou singulares
e substantivos G.: estes últimos possibilitariam
afirmar proposições G., ou seja, "afirmar ou negar
alguns predicados de um número indefini-
L