BEWUßTSEINS- UND ORGANISATIONSENTWICKLUNG

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Die so illustrierten Probleme werden durch die Tatsache erweitert, daß die
zugrunde gelegten mathematischen Modelle in der Anwendung zu Analysezwecken
auch dann eine Vereinfachung und Verzerrung der Realität
darstellen, wenn ausnahmsweise nur geringfügige Annahmeverletzungen
vorliegen. Zur Verdeutlichung dessen wird hier die Verallgemeinerung der
euklidischen Distanz, die eine gängige formale Grundlage der Distanzmessung
für die Multidimensionale Skalierung (MDS 663 ) ist, im Hinblick auf
ihre Anwendung besprochen. Die Distanz zweier Punkte im r-
dimensionalen Raum ist durch die Minkowski-Metrik definiert als:
R
⎡
d = ⎢∑
x −x
⎣ r=
1
kl kr lr
c
⎤
⎥
⎦
1
c
mit:
d kl :
x kr ; x lr :
r∈(1,2,…R)
c≥1:
Distanz der Punkte k und l
Koordinaten der Punkte k, l auf der r-ten Dimension;
Minkowski-Konstante
Für c=R=2 sowie für c=R=3 entspricht die Minkowski-Metrik der euklidischen
Distanz. Diese beinhaltet für c=R=2 die Berechnung von Distanzen
zwischen Objekten in einer Ebene und für c=R=3 die Berechnung von
Distanzen im dreidimensionalen Raum unter den Annahmen Linearität der
Dimensionen und rechtwinklige Verhältnisse zwischen den Dimensionen. 664
Jede mir bekannte Anwendung der Minkowski-Metrik auf nicht-geographische
Distanzen verletzt die Annahmen der meßtheoretischen Fundierung der
Indikatoren und der Kardinalskalierung der Daten.
Entscheidend ist jedoch etwas anderes. Die Grundidee einer auf der
Minkowski-Metrik basierenden Multidimensionalen Skalierung ist die
verallgemeinerte lineare euklidische Geometrie eines psychologischen
Eindrucksraumes. Die Geometrie des euklidischen Raumes gilt jedoch, wie
663 Vgl. S. 246, Fußnote 654.
664 Vgl. Backhaus et al. 2003, S. 445 ff.; Fischer 1996, S.57.
Eine Distanzmessung im eindimensionalen Raum (R=1) erfolgt als Entfernungsmessung
zwischen zwei Objekten auf einer Geraden, eine Distanzmessung im zweidimensionalen Raum
(R=2) erfolgt als Entfernungsmessung zwischen zwei Objekten anhand ihrer geographischen
Lage in einer Ebene, eine Distanzmessung im dreidimensionalen Raum (R=3) erfolgt als
Entfernungsmessung zwischen zwei Objekten anhand ihrer geographischen Lage im Raum. In
jedem Fall ist das Ergebnis der Distanzmessung ein Abstandsmaß, z.B. Objekt A ist von Objekt B
5,3 km entfernt. In Einsteins Raum-Zeit-Kontinuum ist eine physikalische Distanzmessung
ebenfalls denkbar, aus dieser resultiert jedoch keine Abstandsangabe im üblichen Sinn mehr. In
jedem Fall gilt: Eine graphische Veranschaulichung der Resultate von Distanzmessungen ist für
R≥4 Dimensionen schwierig bis unmöglich.
Formal kann eine beliebige Anzahl von Dimensionen R in die Distanzmessung zweier Objekte
einbezogen werden. Sachlich können sich jedoch Distanzmessungen mit R≥5 Dimensionen nicht
auf Entfernungen im alltagssprachlichen Sinn beziehen.