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PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Establezca casos En ocasiones habrá que dividir el problema en varios casos y dar un argumento
diferente para cada uno. Por ejemplo, con frecuencia debe aplicar esta estrategia al
tratar con el valor absoluto.
Resuelva hacia atrás A veces resulta útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar
hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a la información que se proporciona. Por lo tanto, es
posible invertir las etapas y, de este modo, construir una solución del problema original.
Es común aplicar este procedimiento al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la
ecuación 3x 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 5 7 y proceda hacia
atrás. Sume 5 a cada miembro de la ecuación y divida cada miembro entre 3 para obtener
x 4. Como cada etapa se puede invertir, ha resuelto el problema.
Establezca metas parciales En un problema complejo suele convenir establecer metas intermedias
(en las cuales sólo se satisface parcialmente la situación deseada). Si alcanza la primera
de estas metas intermedias, luego es posible que sea capaz de construir sobre ellas hasta alcanzar
la meta final.
Razonamiento indirecto En ocasiones es apropiado atacar un problema de manera indirecta.
Al utilizar la demostración por contradicción para probar que P implica Q, suponga que
P es verdadera y que Q es falsa e intente ver por qué esto no puede ser. De algún modo,
debe usar esta información y llegar a una contradicción de lo que está seguros que es verdadero.
Inducción matemática Al probar proposiciones que comprenden un entero positivo n, con frecuencia
es útil aplicar el principio siguiente:
PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea S n una proposición acerca del
entero n. Si:
1. S 1 es verdadera.
2. es verdadera siempre que S k es verdadera.
S k1
Entonces S n es verdadera para todos los enteros positivos n.
3
4
Llevar a cabo el plan
Mirar retrospectivamente
Esto es razonable porque, como S 1 es verdadera, de la condición 2 (con k 1) se infiere
que S 2 es verdadera. En tal caso, si se aplica la condición 2 con k 2, S 3 es verdadera. Al
aplicar una vez más la condición 2, esta vez con k 3, S 4 es verdadera. Este procedimiento
se puede seguir indefinidamente.
En la etapa 2 se ideó un plan. Al ponerlo en práctica debe comprobar cada etapa y escribir
los detalles que prueben que cada una es correcta.
Luego de completar la solución, es inteligente revisarla, en parte para ver si hay errores
en la solución y también para ver si es posible pensar en una manera más fácil de resolver
el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es que lo familiarizará con el método
de solución y esto puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada
problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.”
Estos principios de solución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente
resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de solución de problemas
si se atora. Puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los
ejercicios de los capítulos restantes del libro.
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