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SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 329
; 20. Encuentre las coordenadas del punto sobre la curva y tan x
que esté más cerca al punto 1, 1 con una aproximación de 2
dígitos decimales.
21. Determine las dimensiones del rectángulo con el área más
grande que se puede inscribir en un círculo de radio r.
la escalera más corta que llegará desde el suelo pasando por
encima de la cerca, hasta la pared del edificio?
37. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de
papel de radio R, al recortar un sector y unir los bordes CA y
CB. Encuentre la capacidad máxima del cono.
22. Encuentre el área del rectángulo más grande que puede inscribirse
en la elipse x 2 a 2 y 2 b 2 1.
A B
R
23. Halle las dimensiones del rectángulo de área más grande que se
pueda inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un lado
del rectángulo se encuentra en la base del triángulo.
C
24. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área más grande
que tenga su base sobre el eje x y sus otros dos vértices por
arriba del eje x sobre la parábola y 8 x 2 .
25. Calcule las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área
que se puede inscribir en el círculo de radio r.
26. Calcule el área del rectángulo más grande que se puede inscribir
en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, si dos
lados del rectángulo coinciden con los catetos.
27. Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio r.
Encuentre el volumen más grande posible de ese cilindro.
28. Se inscribe un cilindro circular recto en un cono con una altura
h y radio de la base r. Halle el volumen más grande posible de
semejante cilindro.
29. Un cilindro circular recto está inscrito en una esfera de radio r.
Determine el área superficial más grande posible de dicho cilindro.
30.
Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado
por un semicírculo. (Por esto, el diámetro del semicírculo es
igual al ancho del rectángulo. Véase el ejercicio 56 de la página
23.) Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuentre
las dimensiones de la ventana de modo que entre la
cantidad más grande de luz.
31. Los márgenes superior e inferior de un poster miden 6 cm, y
los márgenes laterales miden 4 cm. Si el área impresa del poster
se fija en 384 cm 2 , determine las dimensiones del poster cuya
área sea la mínima.
32. El área de un poster tiene que ser de 180 pulg 2 , y los márgenes
laterales e inferior deben medir 1 pulg y el margen superior
debe ser de 2 pulg. ¿Qué dimensiones darán el área impresa
máxima?
33.
Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes.
Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un
triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo
que el área total encerrada sea (a) máxima, y (b) mínima.
34. Resuelva el ejercicio 33 si un trozo se dobla para formar un
cuadrado y el otro forma un círculo.
35. Se fabrica una lata cilíndrica sin tapa de tal modo que contenga V
cm 3 de líquido. Calcule las dimensiones que minimizarán el costo
del metal para hacer la lata.
36. Una cerca de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a
una distancia de 4 pies de este último. ¿Cuál es la longitud de
38. Se va a fabricar un cono de papel para beber que debe contener
27 cm 3 de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que
usará la menor cantidad de papel.
39. Se inscribe un cono con altura h dentro de un cono más grande
con altura H de modo que su vértice se encuentra en el centro
de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interno
tiene un volumen máximo cuando h 1 3 H.
40. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de una superficie
horizontal mediante una fuerza que actúa a lo largo de una
cuerda unida al objeto. Si la cuerda hace un ángulo u con un
plano, en tal caso la magnitud de la fuerza es
F
mW
m sen u cos u
donde m es una constante llamada el coeficiente de fricción.
¿Para que valor de u, F es la más pequeña?
41. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una batería
de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en
watts) en el resistor externo es
E2 R
P
R r 2
Si E y r son constantes pero R varía, ¿cuál es el valor
máximo de la potencia?
42. Para un pez que nada con una rapidez v con relación al agua,
el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional
a v 3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energía
total requerida para nadar una distancia fija. Si nada contra
una corriente uu v, el tiempo requerido para nadar una
distancia L es L/v u y la energía total E necesaria para
nadar la distancia se expresa por medio de
Ev av 3
L
v u
donde a es la constante de proporcionalidad.
(a) Determine el valor de v que minimice E.
(b) Dibuje la gráfica de E.
Nota: Este resultado se ha comprobado de manera experimental;
el pez migratorio nada contra corriente con una rapidez
50% mayor que la rapidez de esa corriente.