calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 203
pero
y f a ? y f a x x
x
Si define e como 0 cuando x 0, entonces e se convierte en función continua de x. De
esta manera para una función f derivable, podemos escribir
7
y f a x x donde l 0 a medida que x l 0
y es una función continua de x. Esta propiedad de las funciones derivables es lo que
permite probar la regla de la cadena.
PRUEBA DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que u tx es derivable en a y y f(u) lo
es en b t(a). Si x es un incremento en x y u y y son los incrementos correspondientes
en u y y, en seguida puede aplicar la ecuación 7 para escribir
8
u ta x 1 x ta 1 x
donde 1 l 0 cuando x l 0. De manera análoga
9
y f b u 2 u f b 2 u
donde 2 l 0 cuando u l 0. Si ahora sustituye la expresión para u de la ecuación 8
en la ecuación 9, obtiene
y f b 2 ta 1 x
de modo que
y
x f b 2ta 1
Cuando x l 0, la ecuación 8 demuestra que u l 0. De modo que tanto el 1 l 0 y
2 l 0 a medida que x l 0. Debido a eso
dy
dx lím y
x l 0 x lím f b 2ta 1
x l 0
f bta f tata
Esto prueba la regla de la cadena.
3.4
EJERCICIOS
1–6 Escriba la función compuesta en la forma f(t(x)).
Identifique la función interior u t(x) y la exterior y f(u).
Luego, encuentre la derivada dydx.
1. y sen 4x
2. y s4 3x
3.
5.
y 1 x 2 10
y e sx
4.
6.
y tansen x
y sene x
9. Fx s 4 1 2x x 3 10.
1
11. tt
12.
t 4 1 3
13. y cosa 3 x 3
14.
15. y xe kx
16.
17. tx 1 4x 5 3 x x 2 8
f x 1 x 4 23
f t s 3 1 tan t
y a 3 cos 3 x
y 3 cos(nu)
7–46 Halle la derivada de la función.
18.
ht t 4 1 3 t 3 1 4
7. Fx x 4 3x 2 2 5 8. Fx 4x x 2 100
19. y 2x 5 4 8x 2 5 3 20. y x 2 1s 3 x 2 2