calculo-de-una-variable-1

366 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
CAS
25. Encuentre el área exacta debajo de la curva y cos x, desde
x 0 hasta x b, en donde 0 b p2. (Use un sistema
algebraico para computadora para evaluar la suma y calcular el
límite.) En particular, ¿cuál es el área si b 2?
26. (a) Sea A n el área de un polígono con n lados iguales, inscrito
en un círculo con radio r. Al dividir el polígono en
n triángulos congruentes con ángulo central 2n, demuestre
que
A n 1 2 nr sen
2
2 .
n
(b) Demuestre que lím n l A n r 2 . Sugerencia: use la ecuación
2 de la sección 3.4.
5.2
LA INTEGRAL DEFINIDA
En la sección 5.1 vio que surge un límite de la forma
1
lím
n l n f x* i x lím f x 1
* x f x 2
i1
n l
* x f x n * x
cuando se calcula un área. También vio que aparece cuando intenta hallar la distancia
recorrida por un objeto. Resulta que este tipo de límite se presenta en una amplia variedad
de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. En los
capítulos 6 y 8 verá que también surgen límites de la forma (1) al hallar longitudes de
curvas, volúmenes de sólidos, centros de masa, la fuerza debida a la presión del agua y
el trabajo, así como otras cantidades. De modo que tienen un nombre y una notación
especiales.
2 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Si f es una función continua definida para
a x b, divida el intervalo a, b en n subintervalos de igual ancho
x b an. Haga que x 0 a, x 1 , x 2 ,..., x n ( b) sean los puntos
extremos de estos subintervalos y elija x 1
*, x 2
*,..., x n * como los puntos muestras
en estos subintervalos, de modo que x*
i se encuentre en el i-ésimo
subintervalo x i1 , x i . Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es
y b
f x dx lím
a
n l
n
f x* i x
i1
siempre que exista este límite, si existe, f es integrable en a, b.
El significado exacto del límite que define a las integrales es como sigue:
Para cualquier número e 0 existe un entero N tal que
y b
f x dx n
f x* i x
a
i1
para cualquier entero n N y para cualquier selección de x*
i en [x i 1 , x i ].
x
NOTA 1 Leibniz introdujo el símbolo y se llama signo de integral. Es una S alargada
y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación x b f x dx, f x
a
se llama integrando, y a y b se conocen como los límites de integración; a es el límite
inferior y b es el límite superior. El símbolo dx no tiene significado en sí; la expresión
x b f x dx,vista como un todo, es un símbolo único. La dx indica simplemente que la variable
a
independiente es x. El procedimiento para calcular una integral se llama integración.