calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.2 VOLÚMENES |||| 429
Puesto que B está en el círculo, y s1 x 2 , y, de esa manera, la base del
triángulo ABC es AB 2s1 x 2 . Como el triángulo es equilátero, según la
figura 13(c), su altura es s3 y s3s1 x 2 . Por lo tanto, el área de la sección
transversal es
Ax 1 2 2s1 x 2 s3s1 x 2 s3 1 x 2
y el volumen del sólido es
V y 1 1
Ax dx y 1 1 s3 1 x 2 dx
2 y 1
0 s3 1 x 2 dx 2s3x x 3
1
30
4s3
3
V EJEMPLO 8 Calcule el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado de lado L
y cuya altura es h.
SOLUCIÓN Coloque el origen O en el vértice de la pirámide y el eje x a lo largo de su
eje central, como se ilustra en la figura 14. Se dice que cualquier plano P x que pase por
x y sea perpendicular al eje x corta a la pirámide en un cuadrado de lado s. Puede
expresar s en función de x observando por triángulos semejantes de la figura 15 que
x
h s2
L2 s L
y, de este modo, s Lxh. [Otro método es observar que la recta OP tiene pendiente
L2h y, de este modo, su ecuación es y Lx2h.] Por eso, el área de la sección
transversal es
Ax s 2 L2
h 2 x 2
y
y
P
O
x
h
x
O
x
s
L
x
h
y
h
FIGURA 14
FIGURA 15
La pirámide se ubica entre x 0 y x h, por lo que su volumen es
y
V y h
Ax dx y h
0
0
L 2
h 2 x 2 dx
L2
h 2 x 3
h
30
L2 h
3
0
FIGURA 16
x
NOTA No era necesario colocar el vértice de la pirámide en el origen en el ejemplo
8. Se hizo así para que las ecuaciones resultaran más sencillas. Si en lugar de eso se
hubiera colocado el centro de la base en el origen y el vértice en el eje y positivo, como en