calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 467
67–69 Demuestre la fórmula, donde m y n son enteros
positivos.
67.
68.
y
y
69. y
sen mx cos nx dx 0
sen mx sen nx dx 0
cos mx cos nx dx 0
si m n
si m n
si m n
si m n
70. Una serie de Fourier finita está dada por la suma
f x N
a n sen nx
n1
a 1 sen x a 2 sen 2x a N sen Nx
Muestre que el m-ésimo coeficiente
a m 1
y
a m
f x sen mx dx
está dado por la fórmula
7.3
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
En la determinación del área de un círculo o una elipse, surge una integral de la forma
x sa 2 x 2 dx, donde a 0. Si fuese x xsa 2 x 2 dx, la sustitución u a 2 x 2 sería
efectiva pero, tal y como aparece, x sa 2 x 2 dx es más difícil. Si se cambia la variable de
x a u por la sustitución x a sen , entonces la identidad 1 sen 2 cos 2 permite eliminar
el signo de la raíz porque
sa 2 x 2 sa 2 a 2 sen 2 sa 2 1 sen 2 sa 2 cos 2 a cos
Observe la diferencia entre la sustitución u a 2 x 2 (en la que la nueva variable es una
función de la variable previa) y la sustitución x a sen (la variable previa es una función
de la nueva).
En general se puede hacer una sustitución de la forma x tt al usar al revés la regla
de sustitución. A fin de simplificar los cálculos, se supone que t tiene una función inversa;
es decir, t es uno a uno. En este caso, si se reemplazan u por x y x por t en la regla de
sustitución (ecuación 5.5.4), se obtiene
y f x dx y f tttt dt
Esta clase de sustitución se llama sustitución inversa.
Se puede hacer la sustitución inversa x a sen siempre que ésta defina una función uno
a uno. Esto se puede llevar a cabo restringiendo a ubicarse en el intervalo 2, 2.
En la tabla siguiente se listan las sustituciones trigonométricas que son efectivas para
las expresiones con radicales debido a las identidades trigonométricas especificadas. En
cada caso la restricción sobre u se impone para asegurar que la función que define la sustitución
es uno a uno. (Éstos son los mismos intervalos empleados en la sección 1.6 al
definir las funciones inversas.)
TABLA DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Expresión Sustitución Identidad
sa 2 x 2 x a sen ,
2 2
1 sen 2 cos 2
sa 2 x 2 x a tan ,
2 2
1 tan 2 sec 2
sx 2 a 2 x a sec , 0
2 o 2
sec 2 1 tan 2
3