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24 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
1.2
MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS
Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función
o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una
población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de
un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el
costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá
hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.
La figura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especifica un
problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático identificando
y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como
hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea susceptible
de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación
física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables.
En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite recabar
información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios
experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A partir
de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por
medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráfica puede hasta sugerir una forma
algebraica adecuada.
Problema en el
mundo real
Formular Modelo
Resolver Conclusiones Interpretar
matemático
matemáticas
Predicciones en
el mundo real
Test
FI GURA 1
El proceso del modelado
La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo
que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con
el fin de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclusiones
matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del
mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es probar
las predicciones que formuló verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real.
Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su
modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo.
Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación
física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para
permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones
valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre
naturaleza tiene la última palabra.
Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias
que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el
comportamiento y las gráficas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones modeladas
en forma apropiada por medio de esas funciones.
MODELOS LINEALES
& En el apéndice B se repasa la geometría
analítica de las rectas.
Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la gráfica
de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección
de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como
y f x mx b
donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y.