calculo-de-una-variable-1

40 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(b) Para obtener la gráfica de y 1 sen x, una vez más empiece con y sen x. La
refleja con respecto al eje x, para obtener la gráfica de y sen x y, a continuación,
desplácela 1 unidad hacia arriba para obtener y 1 sen x (véase la figura 8).
y
2
y=1-sen x
1
FIGURA 8
0 π π 3π 2π
2
2
x
EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz diurna como funciones
de la época del año en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia está ubicada
a 40° de latitud N, encuentre una función que modele la duración de la luz diurna en la
ciudad mencionada.
20
18
16
14
Horas
12
10
8
20° N
30° N
40° N
50° N
FI GURA 9
Gráfica de la duración de la
luz diurna del 21 de marzo al
21 de diciembre en diversas latitudes
Fuente: Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time
(New York: Silver, Burdett, 1935) página 40.
6
4
2
0
Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.
60° N
SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al
observar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura
alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, de manera que la
amplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es
1
214.8 9.2 2.8.
¿Por qué factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t en
días? Debido a que en un año hay 365 días, el periodo del modelo debe ser 365 días.
Pero el periodo de y sen t es 2p, por consiguiente el factor de alargamiento horizontal
es c 2p/365.
Se observa también que la curva inicia su ciclo el 21 de marzo, el 80o. día del año, de
modo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Además, la desplaza 12
unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duración de la luz diurna en Filadelfia
sobre el t-ésimo. día del año mediante la función
Lt 12 2.8 sen
2
365 t 80
Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si
y f x , entonces, según la definición de valor absoluto, y f x cuando f x 0
y y f x cuando f x 0. Esto dice cómo obtener la gráfica de y f x a partir
de la gráfica de y f x: la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue
siendo la misma; la sección debajo del eje x se refleja respecto a este eje.