calculo-de-una-variable-1

30 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(i) a n, donde n es un entero positivo
La figura 11 ilustra las gráficas de f x x n para n 1, 2, 3, 4 y 5. (Éstos son polinomios
con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de y x (una línea a
través del origen con pendiente 1) y y x 2 [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en
la sección 1.1].
y
y=x
y
y=≈
y
y=x#
y
y=x$
y
y=x%
1
1
1
1
1
0
1
x
0
1
x
0
1
x
0
1
x
0
1
x
FIGURA 11
Gráficas de f(x) = x n para n = 1, 2, 3, 4, 5
La forma general de la gráfica de f x x n depende de si n es par o impar. Si n es
par, entonces f x x n es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola
y x 2 . Si n es impar, entonces f x x n es una función impar y su gráfica es similar a la
de y x 3 . Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace
más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando x 1 . (Si x es pequeña entonces x 2
es más pequeña, x 3 aún más pequeña, x 4 es más pequeña y así sucesivamente.)
y
y
y=x$
(1, 1)
y=x^
y=x#
y=≈
y=x%
(_1, 1)
(1, 1)
0
x
0
x
(_1, _1)
FIGURA 12
Familias de funciones de potencia
(ii) a 1n, donde n es un entero positivo
La función f x x 1n s n x es una función raíz. Para n 2 es la función raíz cuadrada
f x sx, cuyo dominio es 0, y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola
x y 2 . [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de y s n x es similar
a la de y sx. Para n 3 tenemos la función raíz cúbica f x s 3 x cuyo dominio
es (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la
figura 13(b). La gráfica de y s n x para n impar n 3 es similar a la de y s 3 x.
y
y
(1, 1)
(1, 1)
0
x
0
x
FIGURA 13
Gráficas de funciones raíz
(a) ƒ=œ„x
(b) ƒ=Œ„x