calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 645
En el ejemplo 8 se encontró que r cos 2u 0 cuando u p4 o 3p4. Esto significa que
las líneas u p4 y u 3p4 o y x y y x son líneas tangentes a r cos 2u
en el origen.
EJEMPLO 9
(a) Para la cardioide r 1 sen u del ejemplo 7, encuentre la pendiente de la línea
tangente cuando u p3.
(b) Encuentre los puntos sobre la cardioide donde la línea tangente es horizontal o
vertical.
SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación 3 con r 1 sen u, se tiene
dr
sen r cos
dy
dx dr
cos r sen
(a) La pendiente de la tangente en el punto donde u p3 es
1
dy
cos31 2 sen3
2(1 s3)
dx
1 sen31 2 sen3 (1 s32)(1 s3)
3
d
d
cos sen 1 sen cos
cos cos 1 sen sen
cos 1 2sen
1 2 sen 2 cos 1 2 sen
sen 1 sen 1 2 sen
1 s3
(2 s3)(1 s3)
1 s3
1 s3 1
(b) Observe que
dy
d
cos 1 2 sen 0
cuando
2 , 3
2 , 7
6 , 11
6
dx
d
1 sen 1 2 sen 0
cuando 3
2 ,
6 , 5
6
π
”2, 2 ’
m=_1
œ„3 π
”1+ , ’ 2 3
Debido a eso, hay tangentes horizontales en los puntos 2, p2, ( 1 2, 76) ,( 1 2, 116) y
tangentes verticales en ( 3 2, 6) y ( 3 2, 56) . Cuando u 3p2, tanto dydu como dxdu
son 0, así que se debe tener cuidado. Al usar la regla de l’Hospital, se tiene
lím
dx lím
lím
1 2 sen
1 sen
l 32 dy
l 32 1 2 sen
l 32 cos
” 3
, 5π
2 6
’
(0, 0)
1 7π 1 11π
” , ’ 2 6 ” , ’ 2 6
3 π
” , ’ 2 6
FIGURA 15
Rectas tangentes para r=1+sen ¨
Por simetría,
1 3
lím
lím
l 32 dy
1 1 sen 3
dx
l 32 cos
En estos términos que hay una línea tangente vertical en el polo véase fig. 15.
lím
cos
l 32 sen