calculo-de-una-variable-1

344 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
Como vt st, s es la antiderivada de v:
st 3 t 3
3 4 t 2
2 6t D t 3 2t 2 6t D
Esto da s0 D. Si s0 9, de modo que D 9 y la función de posición requerida
es
st t 3 2t 2 6t 9
Un objeto cerca de la superficie de la tierra está sujeto a una fuerza gravitacional que
produce una aceleración hacia abajo denotada con t. Para el movimiento cercano a la tierra
supone que t es constante y su valor es de unos 9.8 m/s 2 (o 32 pies/s 2 ).
V EJEMPLO 7 Se lanza una pelota hacia arriba a una rapidez de 48 pies/s desde el borde
de un acantilado a 432 pies por arriba del nivel de la tierra. Encuentre su altura sobre
el nivel de la tierra t segundos más tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo
choca contra el nivel de la tierra?
SOLUCIÓN El movimiento es vertical y se elige la dirección positiva como la correspondiente
hacia arriba. En un instante t, la distancia arriba del nivel de la tierra st y la velocidad vt
es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe ser negativa y
Con antiderivadas
at dv
dt 32
vt 32t C
Para determinar C, use la información dada de que v0 48. Esto da 48 0 C, de
manera que
vt 32t 48
La altura máxima se alcanza cuando vt 0; es decir, después de 1.5 s. Como st vt,
antiderive una vez más y obtiene
st 16t 2 48t D
Aplique s0 432 y tiene 432 0 D; por consiguiente
& En la figura 5, se muestra la función de
posición de la pelota del ejemplo 7. La gráfica
corrobora la conclusión obtenida: la pelota
alcanza su altura máxima después de 1.5 s y
choca contra el suelo luego de 6.9 s.
500
La expresión para st es válida hasta que la pelota choca contra el nivel de la tierra. Esto
sucede cuando st 0; o sea cuando
o, equivalentemente,
st 16t 2 48t 432
16t 2 48t 432 0
t 2 3t 27 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtiene
0 8
FIGURA 5
t 3 3s13
2
Rechace la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. En consecuencia,
la pelota choca contra el nivel de la tierra después de 3(1 s13)2 6.9 s.