calculo-de-una-variable-1

312 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
H. La gráfica de la función restringida a 0 x 2p se muestra en la figura 9. Después
la extenderá, aplicando periodicidad para completar la gráfica en la figura 10.
y
1
2
11π
6
1
œ„3
” , ’
y
1
2
π
2
π
3π
2
2π
x
_π
π
2π
3π
x
FIGURA 9
” 7π 1
-
6 , ’
œ„3
FIGURA 10
EJEMPLO 5 Grafique y ln4 x 2 .
A. El dominio es
x 4 x 2 0 x x 2 4 x x 2 2, 2
B. La intersección con el eje y es f 0 ln 4. Para determinar la intersección con el eje x
hagá
y ln4 x 2 0
Sabe que ln 1 0 y así 4 x 2 1 ? x 2 3 y, por lo tanto, se corta al eje x en
s3.
C. Como f x f x, f es par y la curva es simétrica con respecto al eje de las y.
D. Busque asíntotas verticales en los extremos del dominio. Como 4 x 2 l 0 cuando
x l 2 y también cuando x l 2 , tiene
lím ln4 x 2
x l2
lím ln4 x 2
x l2
Por esto, las rectas x 2 y x 2 son asíntotas verticales.
E.
f x
2x
4 x 2
x=_2
y
(0, ln 4)
x=2
Puesto que f x 0 cuando 2 x 0 y f x 0 cuando 0 x 2, f es creciente
en 2, 0 y decreciente en 0, 2.
F. El único número crítico es x 0. Como f cambia de positiva a negativa en 0,
f 0 ln 4 es un máximo local de acuerdo con la prueba de la primera derivada.
0
{_œ„3, 0}
{œ„3, 0}
x
G.
f x 4 x 2 2
2 2x2x 8 2x
4 x 2 2 4 x 2 2
FIGURA 11
y=ln(4 -≈)
Como f x 0 para toda x, la curva es cóncava hacia abajo en 2, 2 y carece de
punto de inflexión.
H. Por medio de esta información se traza la gráfica de la figura 11.
ASÍNTOTAS INCLINADAS
Algunas curvas poseen asíntotas que son oblicuas, es decir, ni horizontales ni verticales. Si
lím f x mx b 0
x l
entonces la recta y mx b se llama asíntota inclinada porque la distancia vertical entre
la curva y f x y la recta y mx b tiende a 0, como en la figura 12. Una situación