calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS |||| 657
(_a, 0)
(_c, 0)
FIGURA 8
≈ ¥
+ =1,
a@ b@
y
(0, b)
b
a
(a, 0)
0 c (c, 0) x
(0, _b)
a˘b
Del triángulo F 1 F 2 P de la figura 7 se ve que 2c 2a, así que c a, por lo tanto,
a 2 c 2 . Por conveniencia, sea b . Después la ecuación de la elipse se
convierte en
0b 2 a 2 c 2
2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 o, si ambos lados se dividen entre a 2 b 2 ,
x 2
a y 2
3 2 b 1 2
Puesto que b 2 a 2 c 2 a 2 , se deduce que b a. Las intersecciones con el eje x se
encuentran al establecer y 0. En tal caso x 2 a 2 1, o bien x 2 a 2 , de modo que
x a. Los puntos correspondientes a, 0 y a, 0 se llaman vértices de la elipse y
el segmento de línea que une los vértices se llama eje mayor. Para hallar las intersecciones
con el eje y se fija x 0 y se obtiene y 2 b 2 , de modo que y b. La ecuación 3
no cambia si x se sustituye por x o y se reemplaza por y, así que la elipse es simétrica
respecto a ambos ejes. Observe que si los focos coinciden, por lo tanto c 0 y, de este modo,
a b y la elipse se convierte en un círculo con radio r a b.
Se resume el análisis como sigue (véase también fig. 8).
4
La elipse
x 2
a 2 y 2
b 2 1
a b 0
tiene focos c, 0, donde c 2 a 2 b 2 y vértices a, 0.
y
(0, a)
(0, c)
Si los focos de una elipse se localizan en el eje y en 0, c, entonces se puede hallar
su ecuación al intercambiar x y y en 4. Véase fig. 9.
(_b, 0)
(b, 0)
0 x
(0, _c)
5
La elipse
x 2
b 2 y 2
a 2 1
a b 0
FIGURA 9
≈ ¥
+ =1, a˘b
b@ a@
(0, _a)
tiene focos 0, c, donde c 2 a 2 b 2 y vértices 0, a.
V EJEMPLO 2 Bosqueje la gráfica de 9x 2 16y 2 144 y localice los focos.
SOLUCIÓN Divida ambos lados de la ecuación entre 144:
x 2
16 y 2
9 1
(_4, 0)
{_ 0}
y
(0, 3)
FIGURA 10
9≈+16¥=144
0
{œ
œ7, „ 0} x
(0, _3)
(4, 0)
La ecuación está ahora en la forma estándar para una elipse, así que se tiene a 2 16,
b 2 9, a 4 y b 3. Los cruces con el eje x son 4 y los cruces con el eje y son 3.
También, c 2 a 2 b 2 7, de modo que c s7 y los focos son (s7, 0) . La gráfica
se bosqueja en la figura 10.
V EJEMPLO 3 Obtenga una ecuación de la elipse con focos 0, 2 y vértices 0, 3.
SOLUCIÓN Al usar la notación de 5, se tiene c 2 y a 3. En tal caso se obtiene
b 2 a 2 c 2 9 4 5, así que una ecuación de la elipse es
x 2
5 y 2
9 1
Otra forma de escribir la ecuación es 9x 2 5y 2 45.