calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
& En la página 76 se analizan los principios de
solución de problemas.
& Otro enfoque consiste en usar la regla de
l’Hospital.
Antes de ver la solución del ejemplo siguiente, cúbrala e intente resolver el problema por
usted mismo.
EJEMPLO 1 Evalúe lím
.
x l3 x sen t
dt
x 3 yx 3 t
SOLUCIÓN Empiece por tener un panorama preliminar de los ingredientes de la función.
¿Qué sucede al primer factor, x(x 3), cuando x tiende a 3? El numerador tiende a 3
y el denominador tiende a 0, de modo que
x
x
cuando x l 3 y cuando l 3
x 3 l x 3 l
x
El segundo factor tiende a sen ttdt, lo cual es 0. No resulta claro qué sucede a la función
como un todo. (Uno de los factores aumenta y el otro disminuye.) De modo que, ¿cómo
proceder?
Uno de los principios de solución de problemas es reconocer algo familiar. ¿Existe
una parte de la función que recuerde algo que ya ha visto? Bien, la integral
tiene a x como su límite superior de integración y ese tipo de integral se presenta en la
parte 1 del teorema fundamental del cálculo:
d
y x
f t dt f x
dx a
Esto sugiere que podría relacionarse con la derivación.
Una vez que empiece a pensar en la derivación, el denominador (x 3) le recuerda
algo más que debe de ser familiar: una de las formas de la definición de la derivada en
el capítulo 2 es
Fx Fa
Fa lím
x l a x a
y con a 3 esto se convierte en
x 3 3
F3 lím
x l3
Fx F3
x 3
De modo que, ¿cuál es la función F en esta situación? Advierta que si define
y x
3
sen t
t
Fx y x sen t
dt
3 t
por lo tanto F(3) 0. ¿Qué se puede decir acerca del factor x en el numerador? Esto es una
situación irregular, de modo que sáquelo como factor y conjunte el cálculo:
lím
x l3 x sen t
dt
x 3 yx
3 t ( lím x
x l3 ) lím
3 lím
x l3
Fx F3
x 3
3F3
3 sen 3
3
sen 3
dt
x l3
y x
3
sen t
dt
t
x 3
(TFC1)
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