calculo-de-una-variable-1

160 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
específico es la figura 2 de la sección 2.7.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos
como los de las figuras 6 y 7(a), no puede eliminar el punto agudo o esquina. (Véase la
figura 9.)
y
y
0
a
x
0
a
x
FIGURA 8
ƒ es derivable en a
FIGURA 9
ƒ no es derivable en a
DERIVADAS SUPERIORES
Si f es una función derivable, entonces su derivada f también es una función, así, f puede
tener una derivada de sí misma, señalada por f f . Esta nueva función f se denomina
segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación
de Leibniz, se escribe la segunda derivada de y fx como
d
dx
dx dy d 2 y
dx 2
EJEMPLO 6 Si fx x 3 x, hallar e interpretar f x.
_1.5
FIGURA 10
2
f·
_2
TEC En Module 2.8 puede ver
cómo cambian los coeficientes de un
polinomio f que afecta el aspecto de la
gráfica de f, f y f .
fª
f
1.5
SOLUCIÓN En el ejemplo 2 encontró que la primera derivada es f x 3x 2 1. De este
modo, la segunda derivada es
f x h f x 3x h 2 1 3x 2 1
f x f x lím
lím
h l 0 h
h l 0 h
lím
h l 0
3x 2 6xh 3h 2 1 3x 2 1
h
lím
h l 0
6x 3h 6x
Las gráficas de f, f y f se exhiben en la figura 10.
Puede interpretar f x como la pendiente de la curva y fx en el punto x, fx. En
otras palabras, es la relación de cambio de la pendiente de la curva original y fx.
Observe de la figura 10 que f x es negativa cuando y fx tiene pendiente negativa
y positiva cuando y fx tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven como
una comprobación de sus cálculos.
En general, se puede interpretar una segunda derivada como una relación de cambio
de una relación de cambio. El ejemplo más familiar es la aceleración, que se define como
sigue.
Si s st es la función posición de un objeto que se traslada en una línea recta, se
sabe que su primera derivada representa la velocidad vt del objeto como una función
del tiempo:
vt st ds
dt