calculo-de-una-variable-1

642 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
(3, 1)
EJEMPLO 5 Bosqueje la curva polar u 1.
¨=1
O
1
(1, 1)
(2, 1)
x
SOLUCIÓN Esta curva consta de los puntos r, u tal que el ángulo polar u es 1 radián. Es la
recta que pasa por O y forma un ángulo de 1 radián con el eje polar (véase figura 7).
Observe que los puntos r, 1 sobre la línea con r 0 están en el primer cuadrante,
mientras que aquellos con r 0 están en el tercer cuadrante.
(_1, 1)
(_2, 1)
EJEMPLO 6
(a) Trace la curva con la ecuación polar r 2 cos u.
(b) Encuentre una ecuación cartesiana para esta curva.
FIGURA 7
SOLUCIÓN
(a) En la figura 8 se encuentran los valores de r para algunos valores convenientes de u
y se grafican los puntos correspondientes r, u. Después se unen estos puntos para bosquejar
la curva, que parece un círculo. Se han usado sólo valores de u entre 0 y p, puesto
que si se permite que u se incremente más allá de p, se obtienen de nuevo los mismos
puntos.
FIGURA 8
Tabla de valores y
gráfica de r=2 cos ¨
u
r 2 cos u
0 2
p6 s3
p4 s2
p3 1
p2 0
2p3 1
3p4 s2
5p6 s3
p
2
π ”0, ’
2
π
”1, ’ 3
2π
”_1, ’ 3
π
”œ„, 2 ’ 4
π
”œ„, 3 ’ 6
(2, 0)
5π
”_ œ„, 3 ’
3π
6
”_ œ„, 2 ’ 4
(b) Para convertir la ecuación en una ecuación cartesiana se usan las ecuaciones 1 y 2.
De x r cos u se tiene cos u xr, de modo que la ecuación r 2 cos u se convierte en
r 2xr, que da
2x r 2 x 2 y 2 o x 2 y 2 2x 0
Al completar el cuadrado, se obtiene
x 1 2 y 2 1
que es una ecuación de un círculo con centro 1, 0 y radio 1.
& En la figura 9 se muestra una ilustración
geométrica de que el círculo del ejemplo 6
tiene la ecuación r 2cos . El ángulo OPQ
es un ángulo recto ¿por qué?, de esa
manera, r2 cos .
y
O
¨
r
2
P
Q
x
FIGURA 9