calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS |||| 275
Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un intervalo
cerrado, observe que tiene un extremo local en cuyo caso, por (7), se presenta en un
número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este modo, el
procedimiento siguiente de tres pasos siempre funciona.
MÉTODO DEL INTERVALO CERRADO Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos
de una función continua f sobre un intervalo cerrado a, b:
1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en a, b.
2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el
más pequeño, el valor mínimo absoluto.
V
EJEMPLO 8 Calcule los valores máximo y mínimo absolutos de la función.
y
20
15
10
5
_1
0
_5
FIGURA 12
y=˛-3≈+1
(4, 17)
1 2
3 4 x
(2, _3)
f x x 3 3x 2 1
SOLUCIÓN Puesto que f es continua en [ 1 2, 4] , puede aplicar el método del intervalo
cerrado:
f x x 3 3x 2 1
f x 3x 2 6x 3xx 2
Puesto que f x existe para toda x, los únicos números críticos de f se presentan cuando
f x 0, es decir, x 0 o x 2. Observe que cada uno de estos valores críticos queda
en el intervalo ( 1 2, 4) . Los valores de f en estos números críticos son
f 0 1
Los valores de f en los extremos del intervalo son
f ( 1 2) 1 8
1 2 x 4
f 2 3
f 4 17
Al comparar los cuatro números resulta que el valor máximo absoluto es f 4 17 y
que el valor mínimo absoluto es f 2 3.
Observe que en este ejemplo el máximo absoluto se presenta en un extremo, y el
mínimo absoluto se presenta en un número crítico. La gráfica de f se ilustra en la
figura 12.
Si tiene una calculadora que grafique o una computadora con programas que le permitan
graficar, es posible estimar con mucha facilidad los valores máximo y mínimo. Pero,
como se puede ver en el ejemplo siguiente, el cálculo infinitesimal es necesario para determinar
los valores exactos.
8
0
_1
FIGURA 13
2π
EJEMPLO 9
(a) Use un aparato graficador para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la
función f x x 2sen x, 0 x 2.
(b) Aplique el cálculo para hallar los valores mínimo y máximo exactos.
SOLUCIÓN
(a) En la figura 13 se muestra una gráfica de f en la pantalla 0, 2 por 1, 8. Al
acercar el cursor al punto máximo, observe que las coordenadas y no cambian mucho en
la vecindad del máximo. El valor máximo absoluto es alrededor de 6.97 y se presenta
cuando x 5.2. De manera análoga, al mover el cursor cerca del punto mínimo, el valor
mínimo absoluto es alrededor de 0.68 y se presenta cuando x 1.0. Es posible