calculo-de-una-variable-1

436 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
V EJEMPLO 4 Determine el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor de la
recta x 2 la región definida por y x x 2 y y 0.
SOLUCIÓN En la figura 10 se ilustra la región y un cascarón cilíndrico formado por la
rotación alrededor de la recta x 2. El radio es 2 x, circunferencia 22 x y
altura x x 2 .
y
y
y=x-≈
x=2
FIGURA 10
0
x
0
x
1 2 3 4
2-x
x
El volumen del sólido es
V y 1
22 xx x 2 dx 2 y 1
x 3 3x 2 2x dx
0
2 x 4
4 x 3 x 20
1
2
0
6.3
EJERCICIOS
1. Sea S el sólido que se genera al girar alrededor del eje y la región
que se ilustra en la figura. Explique por qué es inconveniente usar
los cortes por rebanadas para determinar el volumen V de S.
Dibuje un cascarón de aproximación representativo. ¿Cuáles son
la circunferencia y la altura? Mediante cascarones encuentre V.
y
y=x(x-1)@
0 1 x
2. Sea S el sólido que se genera al girar alrededor del eje y la
región que se ilustra en la figura. Dibuje un cascarón cilíndrico
representativo y determine su circunferencia y altura. Mediante
cascarones calcule el volumen de S. ¿Cree usted que este método
es mejor al de las rebanadas? Explique.
y
y=sen{≈}
0
œ„π x
3–7 Mediante el método de los cascarones cilíndricos, determine el
volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región
definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascarón
representativo.
3. y 1x, y 0, x 1, x 2
4. y x 2 , y 0,
5.
x 1
y e x2 , y 0, x 0, x 1
6. y 3 2x x 2 , x y 3
7. y 4x 2 2 , y x 2 4x 7
8. Sea V el volumen del sólido que se obtiene cuando la región
definida por y sx y y x 2 gira alrededor del eje y. Calcule V
cortando rebanadas y formando cascarones cilíndricos. En ambos
casos elabore un diagrama para explicar el método.
9–14 Mediante el método de los cascarones cilíndricos determine
el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje
x la región que delimitan las curvas dadas. Grafique la región y un
cascarón cilíndrico.
9. x 1 y 2 , x 0, y 1, y 2
10.
11.
x sy,
y x 3 ,
x 0,
y 8,
y 1
x 0
12. x 4y 2 y 3 , x 0
13. x 1 y 2 2 , x 2
14. x y 3, x 4 y 1 2
15–20 Mediante el método de los cascarones cilíndricos, determine
el volumen generado cuando gira la región que definen las curvas
dadas alrededor del eje especificado. Grafique la región y un cascarón
cilíndrico.
15. y x 4 , y 0, x 1; alrededor de x 2