calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES |||| 713
EJEMPLO 4 Calcule la suma de la serie 1 n
V
con tres cifras decimales.
n0 n!
(Por definición, 0! 1.)
SOLUCIÓN Primero observe que la serie es convergente de acuerdo con la prueba de la serie
alternante porque
(i)
1
n 1! 1
n!n 1 1 n!
(ii) 0 1 1
de modo que conforme n l
n! 1 n l 0
n! l 0
Para ver cuántos términos necesitamos usar en la aproximación, escriba los primeros
términos de la serie
s 1 0! 1 1! 1 2! 1 3! 1 4! 1 5! 1 6! 1 7!
1 1 1 2 1 6 1 24 1
120 1
720 1
5040
Observe que
y
b 7 1
5040 1
5000 0.0002
s 6 1 1 1 2 1 6 1 24 1
120 1
720 0.368056
De acuerdo con el teorema de la estimación de la serie alternante, se sabe que
s s 6 b 7 0.0002
& En la sección 11.10 se demuestra que
e x n0 x n n! para toda x, de modo que
el resultado del ejemplo 4 es en realidad una
aproximación al número e 1 .
Este error de menos de 0.0002 no afecta la tercera cifra decimal, de modo que tenemos
s 0.368 que es correcta hasta la tercera cifra decimal.
| NOTA La regla de que el error (al usar s n para aproximarse a s) es menor que el primer
término ignorado es en general válida sólo para series alternantes que cumplen con las
condiciones del teorema de la estimación de la serie alternante. La regla no se aplica a
otros tipos de series.
11.5
EJERCICIOS
1. (a) ¿Qué es una serie alternante?
(b) ¿En qué condiciones una serie alternante converge?
(c) Si estas condiciones se cumplen, ¿qué puede decir con respecto
al residuo después de n términos?
2–20 Pruebe las series para ver si son convergentes o divergentes.
2. 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7
3.
4.
5. 1 n1
6.
2n 1
7.
4
7 4 8 4 9 4
10 4 11
1
s2 1
s3 1
s4 1
s5 1
s6
n1
1 3n 1
n
n1 2n 1
n1
8.
n1
1 n1
lnn 4
1 n
n
sn 3 2
9. n
1 n
10.
10 n
11.
13.
12.
14.
cos n
15. 16.
17.
n1
n 2
1 n1
n1 n 3 4
n
1 n
n2 ln n
n1
1 sen n
n1
18.
19.
20.
1 n n
n n!
n1
n 34
n
1 n
n1
1n
e
n1
1
n1 n
ln n
n1
1
n1 n
senn2
n1 n!
1 cos n
n1
n1 n 5
sn
1 2sn
n
n