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SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 175
¿Qué se puede decir acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negativos?
En el ejercicio 61 se le pide al lector que compruebe, a partir de la definición de
derivada, que
Por lo que puede escribir de nuevo esta ecuación como
y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n 1. De hecho, en la sección
siguiente ejercicio 58(c) se demuestra que se cumple para todos los enteros negativos.
¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 encontró
que
lo cual se puede escribir como
d
dx
1 x 1 x 2
d
dx x 1 1x 2
d
dx sx 1
2sx
d
dx x12 1 2 x 12
Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n 1 2. De hecho, en
la sección 3.6, se demuestra que es verdadera para todos los números reales n.
REGLA DE LA POTENCIA (VERSIÓN GENERAL) Si n es cualquier número real, entonces
d
dx x n nx n1
& En la figura 3 se muestra la función y del
ejemplo 2(b) y su derivada y. Advierta que y
no es derivable en 0 (y no está definida allí).
Observe que y es positiva cuando y crece, y
negativa cuando y decrece.
y
_3 3
2
yª
EJEMPLO 2 Derive:
(a) f x 1 (b) y s 3 x
x 2
2
SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x.
(a) Como f(x) x 2 , aplique la regla de la potencia con n 2:
f x d dx x 2 2x 21 2x 3 2 x 3
FIGURA 3
y=#œ„≈
_2
(b)
dy
dx d dx (s3 x 2 ) d dx x 23 2 3 x 231 2 3 x 13
La regla de la potencia permite hallar las líneas tangentes sin hacer uso de la definición
de una derivada. Además permite encontrar rectas normales. La recta normal a una
curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente
en P. (En el estudio de lo óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la
recta normal al lente.)