calculo-de-una-variable-1

A56 |||| APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS
SOLUCIÓN Multiplique numerador y denominador por el conjugado complejo de 2 5i, es
decir 2 5i, y aproveche el resultado del ejemplo 1:
1 3i
2 5i
1 3i
2 5i
2 5i 13 11i
13
2 5i 2 2 5 2 29 11
29 i
Im
i
0
_i
z=a+bi
Re
La interpretación geométrica del conjugado complejo se muestra en la figura 2: z es
la reflexión de z en el eje real. En la caja siguiente hay una lista de algunas de las propiedades
del conjugado complejo. Las pruebas se siguen de la definición y se piden en el
ejercicio 18.
z=a-bi –
PROPIEDADES DE CONJUGADOS
FIGURA 2
z w z w
zw z w
z n z n
Im
bi
0
œ„„„„„
|z|= a@+b@
a
z=a+bi
b
Re
z
El módulo, o valor absoluto, de un número complejo z a bi es su distancia
desde el origen. De la figura 3 se ve que si z a bi, entonces
z sa 2 b 2
FIGURA 3
Note que
zz a bia bi a 2 abi abi b 2 i 2 a 2 b 2
y entonces
zz z 2
Esto explica por qué funciona en general el procedimiento de división del ejemplo 2:
z
w zw
ww
Como i 2 1, puede pensar que i es una raíz cuadrada de 1. Pero observe que también
tiene i 2 i 2 1 y entonces 1 también es una raíz cuadrada de 1. Se dice
que i es la raíz cuadrada principal de 1 y se escribe s1 i. En general, si c es
cualquier número positivo, escriba
Con esta convención, la derivación y fórmula usuales para las raíces de la ecuación cuadrática
ax 2 bx c 0 son válidas incluso cuando b 2 4ac 0:
EJEMPLO 3 Encuentre las raíces de la ecuación x 2 x 1 0.
SOLUCIÓN Usando la fórmula cuadrática, tiene
zw
w 2
sc sc i
x b sb 2 4ac
2a
x 1 s1 2 4 1
2
1 s3
2
1 s3i
2