calculo-de-una-variable-1

9.1
& Ahora es un buen momento para leer (o
volver a leer) la exposición de una representación
matemático en la página 24.
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES
Al describir el proceso de representación en la sección 1.2, se habló acerca de formular un
modelo matemático de un problema del mundo real, ya sea por razonamiento intuitivo
acerca del fenómeno o de una ley física en función de la evidencia de experimentos. El
modelo matemático con frecuencia toma la forma de una ecuación diferencial, es decir,
una ecuación que contiene una función desconocida y algunas de sus derivadas. Esto no es
sorprendente, porque en el problema del mundo real, es común observar que ocurran cambios
y se desea predecir el comportamiento futuro con respecto a cómo cambian los valores
actuales. Se comienza por examinar varios ejemplos de cómo surgen las ecuaciones
diferenciales cuando se representan fenómenos físicos.
MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
Un modelo para el crecimiento de una población se basa en asumir de que la población
crece en una cantidad proporcional al tamaño de la población. Ésa es una suposición
razonable para una población de bacterias o animales en condiciones ideales
(ambiente ilimitado, nutrición adecuada, ausencia de predadores, inmunidad a enfermedad).
Se procede a identificar y nombrar las variables en este modelo:
t tiempo la variable independiente.
P número de individuos en la población
la variable dependiente.
La rapidez de crecimiento de la población es la derivada dPdt. Así que la suposición de
que la rapidez de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la población,
se escribe como la ecuación
1
dP
dt
kP
P
donde k es la constante de proporcionalidad. La ecuación 1 es nuestro primer modelo para
el crecimiento poblacional; es una ecuación diferencial porque contiene una función
desconocida P y su derivada dPdt.
Una vez formulado un modelo, se consideran sus consecuencias. Si se descarta una población
de 0, por lo tanto Pt 0 para toda t. Así, si k 0, entonces la ecuación 1 muestra
que Pt 0 para toda t. Esto significa que la población siempre está creciendo. De
hecho, cuando crece Pt la ecuación 1 muestra que dPdt se vuelve más grande. En otras
palabras, la rapidez de crecimiento se incrementa cuando crece la población.
La ecuación 1 pide hallar una función cuya derivada sea un múltiplo constante de sí
mismo. Se sabe del capítulo 3 que las funciones exponenciales tienen esa propiedad. De
hecho, si se establece Pt Ce kt , en tal caso
Pt Cke kt kCe kt kPt
FIGURA 1
La familia de soluciones de dP/dt=kP
t
Así, cualquier función exponencial de la forma Pt Ce kt es una solución de la ecuación
1. Cuando se estudia esta ecuación en detalle en la sección 9.4, se verá que no hay otra
solución.
Si se permite que C varíe por todos los números reales, se obtiene la familia de soluciones
Pt Ce kt cuyas gráficas se muestran en la figura 1. Pero las poblaciones tienen
sólo valores positivos y, por lo tanto, se está interesado sólo en soluciones con
C 0. Y probablemente se tiene interés sólo en valores de t mayores que el tiempo inicial
t 0. En la figura 2 se muestran las soluciones con significado físico. Si se escribe
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