calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS |||| 343
Para determinar C y D, utilice las condiciones dadas de que f 0 4 y f 1 1. Como
f 0 0 D 4, tiene D 4. Puesto que
f 1 1 1 2 C 4 1
tiene C 3. Debido a eso, la función requerida es
f x x 4 x 3 2x 2 3x 4
y
y=ƒ
Si conoce la gráfica de una función f, sería razonable que fuera capaz de dibujar
la gráfica de una antiderivada F. Por ejemplo, suponga que sabe que F0 1.
Entonces, hay un punto de donde partir, el punto 0, 1, y la dirección en la cual
tiene que desplazar su lápiz la proporciona, en cada etapa, la derivada Fx f x.
En el ejemplo siguiente aplique los principios de este capítulo para mostrar cómo
graficar F aun cuando no tiene una fórmula para f. Éste sería el caso cuando datos
experimentales determinan f x.
0
1 2 3
4
x
V EJEMPLO 5 La gráfica de una función f se ilustra en la figura 3. Trace un croquis de
una antiderivada F, dado que F0 2.
FIGURA 3
y
2
1
0 1
y=F(x)
x
SOLUCIÓN Le guía el hecho de que la pendiente de y Fx es f x. Parta del punto 0, 2
y dibuje F como una función inicialmente decreciente ya que f x es negativa
cuando 0 x 1. Observe que f 1 f 3 0, de modo que F tiene tangentes
horizontales cuando x 1 y x 3. En el caso de 1 x 3, f x es positiva
y de este modo F es creciente. Observe que F tiene un mínimo local cuando
x 1 y un máximo local cuando x 3. Para x 3, f x es negativa y F es decreciente
en 3, . Como f x l 0 cuando x l , la gráfica de F se vuelve más
plana cuando x l . También note que Fx f x cambia de positiva a negativa
en x 2, y de negativa a positiva en x 4; así F tiene puntos de inflexión cuando
x 2 y x 4. Se aprovecha esta información para trazar la gráfica de la antiderivada
en la figura 4.
FIGURA 4
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
La antiderivación es en particular útil al analizar el movimiento de un objeto que se mueve
en línea recta. Recuerde que si el objeto tiene la función de posición s ft, en tal
caso la función de velocidad es vt st. Esto significa que la función de posición es
una antiderivada de la función de velocidad. Del mismo modo, la función de aceleración
es at vt, de suerte que la función de velocidad es una antiderivada de la aceleración.
Si se conocen la aceleración y los valores iniciales s0 y v0, entonces se puede hallar
la función de posición al antiderivar dos veces.
V EJEMPLO 6 Una partícula se mueve en línea recta y tiene la aceleración dada por
at 6t 4. Su velocidad inicial es v0 6 cm/s y su desplazamiento inicial es
s0 9 cm. Encuentre su función de posición st.
SOLUCIÓN Dado que vt at 6t 4, la antiderivada da
vt 6 t 2
2 4t C 3t 2 4t C
Observe que v0 C, pero v0 6, de tal suerte que C 6 y
vt 3t 2 4t 6