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4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN y x El cálculo revela todos los aspectos importantes de las gráficas de las funciones. Se examinan grupos de la familia de funciones f(x) cx sen x Ya ha investigado algunas de las aplicaciones de las derivadas, pero ahora que conoce las reglas de derivación se encuentra en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivación, con mayor profundidad. Aquí aprendera cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica de una función y, particularmente, cómo ayudan a localizar valores máximos y mínimos de funciones. En la práctica muchos problemas exigen minimizar un costo o maximizar un área o bien encontrar el mejor resultado posible para una situación. En particular, será capaz de investigar la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los arcoíris en el cielo. 270
4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se pide la manera óptima (la mejor) de hacer algo. En seguida se listan ejemplos de esos problemas, los cuales se resuelven en este capítulo. & ¿Cuál es la forma de una lata que minimice los costos de fabricación? & ¿Cuál es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? (Ésta es una cuestión importante para los astronautas que tienen que soportar los efectos de la aceleración.) & ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido al toser? & ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse de modo que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre? Estos problemas se pueden reducir a encontrar los valores máximo o mínimo de una función. En seguida se define con exactitud lo que son valores máximo y mínimo. y f(d) 1 DEFINICIÓN Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f c f x para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número f c se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f c f x para todo x en D; el número f c se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f. f(a) a 0 b c d e FIGURA 1 Valor mínimo f(a), valor máximo f(d) x En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Observe que d, fd es el punto más alto de la gráfica y a, f a es el más bajo. Si sólo considera valores de x cercanos a b en la figura 1 por ejemplo, si restringe su atención al intervalo a, c, entonces f b es el más grande de esos valores de f x y se conoce como valor máximo local de f. De modo semejante, f c es el valor mínimo local de f porque f c f x para x cercano a c por ejemplo en el intervalo b, d. La función f también tiene un mínimo local en e. En general, se da la definición siguiente: y 0 y=≈ x 2 DEFINICIÓN Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si f c f x cuando x está cercano a c. Esto significa que f c f x para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c. De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f c f x cuando x está cerca de c. FIGURA 2 Valor mínimo 0, no hay valor máximo y 0 y=˛ FIGURA 3 No hay mínimo ni máximo x EJEMPLO 1 La función f x cos x toma su valor máximo (local y absoluto) de un número infinito de veces, ya que cos 2n 1 para cualquier entero n y 1 cos x 1 para todo x. Del mismo modo, cos2n 1 1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero. EJEMPLO 2 Si f x x 2 , entonces f x f 0 porque x 2 0 para todo x. Por lo tanto, f 0 0 es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola y x 2 . (Véase la figura 2.) Sin embargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo. EJEMPLO 3 En la gráfica de la función f x x 3 , que se muestra en la figura 3, esta función no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales. 271
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