calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
Uno de los principios más importantes en la solución de los problemas es la analogía
(véase la página 76). Si tiene dificultades para comenzar un problema, conviene resolver
un problema semejante más sencillo. En el ejemplo siguiente se ilustra el principio. Cubra
la solución e intente solucionarlo primero.
EJEMPLO 1 Si x, y y z son números positivos demuestre que
x 2 1y 2 1z 2 1
xyz
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SOLUCIÓN Puede resultar difícil empezar con este problema. (Algunos estudiantes lo han
atacado multiplicando el numerador, pero eso sólo genera un lío.) Intente pensar en un
problema similar, más sencillo. Cuando intervienen varias variables, a menudo resulta
útil pensar en un problema análogo con menos variables. En el presente caso, puede
reducir el número de variables de tres a una y probar la desigualdad análoga
1
x 2 1
x
2 para x 0
De hecho, si puede probar (1), entonces se deduce la desigualdad deseada porque
x 2 1y 2 1z 2 1
xyz
x 2 1
x
y 2 1
y
z 2 1
z
2 2 2 8
La clave para probar (1) es reconocer que es una versión disfrazada de un problema de
mínimo. Si hace
f x x 2 1
x
x 1 x
x 0
entonces fx 1 1x 2 , de tal suerte que fx 0 cuando x 1. Asimismo,
fx 0 para 0 x 1, y fx 0 para x 1. Por consiguiente, el valor mínimo absoluto
de f es f1 2. Esto significa que
x 2 1
x
2
para todos los valores positivos de x
Retome el concepto
¿Qué ha aprendido a partir de la solución de
este ejemplo?
& Para resolver un problema que comprende
varias variables, podría ayudar resolver un
problema semejante con una variable.
& Cuando intente probar una desigualdad, podría
ayudar si piensa en ella como en un
problema de máximo y mínimo.
y, como se mencionó con anterioridad, por multiplicación se infiere la desigualdad dada.
La desigualdad (1) pudo probarse sin cálculo. De hecho, si x 0
x 2 1
x
2 &? x 2 1 2x &? x 2 2x 1 0
&? x 1 2 0
Debido a que la última desigualdad obviamente es verdadera, la primera también lo
es.
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