calculo-de-una-variable-1

474 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Si ahora se invierte el procedimiento, se ve cómo integrar la función del lado derecho de
esta ecuación:
y
x 5
x 2 x 2 dx y 2
x 1 1 dx
x 2
2 ln x 1 ln x 2 C
Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, considere una
función racional
f x Px
Qx
donde P y O son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fracciones más simples,
siempre que el grado de P sea menor que el grado de O. Esta clase de función racional
se llama propia. Recuerde que si
donde a n 0, por lo tanto el grado de P es n y se escribe graP n.
Si f es impropia, es decir, graP graQ, entonces se debe emprender el paso preliminar
de dividir O entre P (por división larga) hasta obtener un residuo Rx tal que
graR graQ. El enunciado de la división es
1
Px a n x n a n1 x n1 a 1 x a 0
f x Px Rx
Sx
Qx Qx
donde S y R son también polinomios.
Como se ilustra en el siguiente ejemplo, algunas veces este paso preliminar es todo lo
que se requiere.
≈+x +2
x-1)˛ +x
˛-≈
≈+x
≈-x
2x
2x-2
2
EJEMPLO 1 Encuentre y x 3 x
V
.
x 1 dx
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero se
efectúa la división larga. Esto permite escribir
y x 3 x
x 1 dx y x 2 x 2 2
x 1 dx
x 3
3 x 2
2 2x 2 ln x 1 C
El siguiente paso es factorizar el denominador Qx tanto como sea posible. Es posible demostrar
que cualquier polinomio O se puede factorizar como un producto de factores lineales
(de la forma ax b) y los factores cuadráticos irreducibles (de la forma ax 2 bx c,
donde b 2 4ac 0). Por ejemplo, si Qx x 4 16, se podría factorizar como
Qx x 2 4x 2 4 x 2x 2x 2 4
El tercer paso es expresar la función racional propia RxQx (de la ecuación 1) como
una suma de fracciones parciales de la forma
A
ax b i
o
Ax B
ax 2 bx c j