calculo-de-una-variable-1

636 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
respecto al eje x. Por lo tanto, de la fórmula 7, se obtiene
S y 2r sen t sr sen t 2 r cos t 2 dt
0
2 y r sen t sr 2 sen 2 t cos 2 t dt 2 y r sen t r dt
0 0
2r 2 y sen t dt 2r 2 cos t] 0 4r 2
0
10.2
EJERCICIOS
1–2 Encuentre dydx.
1. x t sen t , y t 2 t 2. x 1t ,
y st e t
19. x 2 cos ,
20. x cos 3,
y sen 2
y 2sen
3–6 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto
correspondiente al valor dado del parámetro.
3. x t 4 1, y t 3 t;
4. x t t 1 , y 1 t 2 ;
5. x e st , y t ln t 2 ;
6. x cos sen 2, y sen cos 2;
7–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto
dado por dos métodos: a sin eliminar el parámetro y b eliminando
primero el parámetro.
7. x 1 ln t , y t 2 2;
1, 3
8. x tan , y sec ; (1, s2)
; 9–10 Encuentre una ecuación de las tangentes a la curva en el
punto dado. Después grafique la curva y las tangentes.
9. x 6sen t , y t 2 t ;
10. x cos t cos 2t , y sen t sen 2t ;
11–16 Determine dydx y d 2 ydx 2 . ¿Para qué valores de t la curva
es cóncava hacia arriba?
11. x 4 t 2 , y t 2 t 3 12. x t 3 12t,
y t 2 1
13. x t e t , y t e t 14. x t ln t,
y t ln t
15. x 2sen t, y 3 cos t,
16. x cos 2t, y cos t,
t 1
t 1
t 1
0, 0
0 t 2
0 t
17–20 Encuentre los puntos sobre la curva donde la tangente es
horizontal a la vertical. Si cuenta con un dispositivo de graficación,
grafique la curva para comprobar su trabajo.
17. x 10 t 2 , y t 3 12t
18. x 2t 3 3t 2 12t, y 2t 3 3t 2 1
0
1, 1
; 21. Use una gráfica para estimar las coordenadas del el punto de la
extrema derecha de la curva x t t 6 , y e t . Después use el
cálculo para encontrar las coordenadas exactas.
; 22. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto más
bajo y el de la extrema izquierda en la curva x t 4 2t,
y t t 4 . Luego encuentre las coordenadas exactas.
; 23–24 Grafique la curva en un rectángulo de visión que muestre todos
los aspectos importantes de la curva.
23. x t 4 2t 3 2t 2 ,
24. x t 4 4t 3 8t 2 ,
25.
Muestre que la curva x cos t, y sen t cos t tiene dos
tangentes en 0, 0 y encuentre sus ecuaciones. Bosqueje la
curva.
; 26. Grafique la curva x cos t 2 cos 2t, y sen t 2 sen 2t
para descubrir en dónde se cruza a sí misma. Determine las
ecuaciones de ambas tangentes en ese punto.
27. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la trocoide
x ru d sen u, y r d cos u en términos de u. Véase
el ejercicio 40 en la sección 10.1.
(b) Muestre que si d r, en tal caso la trocoide no tiene una
tangente vertical.
28. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la astroide x a
cos 3 u, y a sen 3 u en términos de u. (Las astroides se
exploran en el proyecto de laboratorio de la página 629.)
(b) ¿En qué puntos la tangente es horizontal o vertical?
(c) ¿En qué puntos la tangente tiene pendiente 1 o 1?
29. ¿En qué puntos sobre la curva x 2t 3 , y 1 4t t 2 tiene
pendiente 1 la línea tangente?
30. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva
x 3t 2 1, y 2t 3 1 que pasa por el punto 4, 3.
31.
y t 3 t
y 2t 2 t
Use las ecuaciones paramétricas de una elipse, x a cos u,
y b sen u, 0 u 2p, para hallar el área que encierra.