calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.8 MÉTODO DE NEWTON |||| 337
V EJEMPLO 2 Aplique el método de Newton para hallar s 6 2 con una aproximación de
ocho posiciones decimales.
SOLUCIÓN En primer lugar, observe que encontrar s 6 2 equivale a hallar la raíz positiva de la
ecuación
x 6 2 0
Por consiguiente, tome f x x 6 2. Después f x 6x 5 y la fórmula 2 (método de
Newton) se convierte en
x n1 x n x n 6 2
5
6x n
Si elige x 1 1 como la aproximación inicial, obtiene
x 2 1.16666667
x 3 1.12644368
x 4 1.12249707
x 5 1.12246205
x 6 1.12246205
Dado que x 5 y x 6 concuerdan hasta las ocho posiciones decimales, concluye que
hasta ocho posiciones decimales.
s 6 2 1.12246205
V EJEMPLO 3 Encuentre, una aproximación hasta seis posiciones decimales, de la raíz
de la ecuación cos x x.
SOLUCIÓN Primero escriba de nuevo la ecuación en la forma estándar:
cos x x 0
Por lo tanto, f x cos x x. Entonces f x sen x 1, de modo que la fórmula 2
se convierte en
x n1 x n cos x n x n
sen x n 1 x n cos x n x n
sen x n 1
y=cos x
y
1
π
2
y=x
π
x
Con el fin de estimar un valor apropiado para x 1 , en la figura 6 trace las gráficas de
y cos x y y x. Parece que se cruzan en un punto cuya coordenada x es algo
menor que 1, de modo que tome x 1 1 como una aproximación inicial conveniente.
Luego, al poner su calculadora en modo de radianes, obtiene
x 2 0.75036387
FIGURA 6
x 3 0.73911289
x 4 0.73908513
x 5 0.73908513
Dado que x 4 y x 5 concuerdan hasta seis posiciones decimales (ocho, de hecho), se concluye
que la raíz de la ecuación es correcta hasta seis posiciones decimales es 0.739085.
En vez de usar el esquema aproximado de la figura 6 para obtener una aproximación
de partida para el método de Newton del ejemplo 3, puede usar la gráfica más exacta que