calculo-de-una-variable-1

A14 |||| APÉNDICE B GEOMETRÍA DE COORDENADAS Y RECTAS
convierte en Ax C 0 o x C/A, que representa una recta vertical con cruce en el
eje x –C/A. Si B 0, la ecuación se puede escribir también despejando y:
y A B x C B
y
0 x (5, 0)
(0, _3)
FIGURA 9
3x-5y=15
y reconoce ésta como la forma de pendiente y ordenada en el origen de la ecuación de
una recta (m A/B, b C/B). Por lo tanto, una ecuación de la forma 5 se denomina
ecuación lineal o la ecuación general de una recta. Por brevedad, con frecuencia se dice
“la recta Ax By C 0” en lugar de “la recta cuya ecuación es Ax By C 0.”
EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la ecuación 3x 5y 15.
SOLUCIÓN Como la ecuación es lineal, su gráfica es una recta. Para trazar la gráfica, puede
simplemente hallar dos puntos sobre la recta. Es más fácil hallar los puntos de intersección.
Sustituyendo y 0 (la ecuación del eje x) en la ecuación dada, obtiene 3x 15, o
sea que x 5 es el punto de intersección con el eje x. Sustituyendo x 0 en la ecuación,
se ve que el punto de cruce con el eje y es 3. Esto permite trazar la gráfica como en la
figura 9.
EJEMPLO 6 Grafique la desigualdad x 2y 5.
y
SOLUCIÓN Se pide trazar la gráfica del conjunto x, y x 2y 5 y lo hace al despejar y
de la ecuación:
x 2y 5
2y x 5
y 1 2 x 5 2
2.5
y=_ x+
1 2
0
FIGURA 10
5
2
5
x
Compare esta desigualdad con la ecuación y x , que representa una recta con pendiente
1 2 2
5
2 e intersección con el eje y en 2. Vea que la gráfica dada consta de puntos
cuyas coordenadas y son mayores que los de la recta y 1 2 x 5 2. Por lo tanto, la gráfica
es la región que está arriba de la recta, como se ilustra en la figura 10.
1
5
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Las pendientes se pueden usar para demostrar que las rectas son paralelas o perpendiculares.
Los siguientes datos se demuestran, por ejemplo, en Precalculus: Mathematics for Calculus,
Fifth Edition de Stewart, Redlin y Watson (Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, 2006).
6 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
1. Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
2. Dos rectas con pendientes m 1 y m 2 son perpendiculares si y sólo si m 1 m 2 1,
es decir, que sus pendientes son recíprocos negativos:
m 2 1 m 1
EJEMPLO 7 Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 2) que es paralelo
a la recta 4x 6y 5 0.
SOLUCIÓN La recta dada se puede escribir en la forma
y 2 3 x 5 6