calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.8 INTEGRALES IMPROPIAS |||| 511
y= 1
1+≈
FIGURA 6
y
0
área=π
x
y 0
1
dx
2
dx lím
1 x t l y0 t 1 x lím
0
x] 2 t l tan1 t
lím
t l tan1 0 tan 1 t
Puesto que ambas integrales son convergentes, la integral dada es convergente y
y
0
1
1 x 2 dx
2
Puesto que 11 x 2 0, la integral impropia dada se puede interpretar como el
área de la región infinita que yace bajo la curva y 11 x 2 y arriba del eje x
(véase la figura 6).
2
2
2
EJEMPLO 4 ¿Para qué valores de p la integral
es convergente?
SOLUCIÓN Se sabe del ejemplo 1 que si p 1, después la integral es divergente, por consiguiente
se supondrá que p 1. Por lo tanto
Si p 1, luego p 1 0, de modo que t l , t p1 l y 1t p1 l 0 entonces,
y
1
y
1
y
1
1
x p dx
1
p
dx lím
x
t l yt 1
lím
t l
1
x dx 1
p p 1
x p dx
x p1
xt
p 1x1
1
lím
t l 1 p 1
si p 1
t p1 1
y, por lo tanto, la integral converge. Pero si p 1, en tal caso p 1 0 y, de este
modo
1
cuando t l
t t 1p l
p1
y la integral diverge.
Se resume el resultado del ejemplo 4 para referencia futura:
y 1
2 p
dx es convergente si p 1 y divergente si p 1.
1 x
TIPO 2: INTEGRANDOS DISCONTINUOS
Suponga que f es una función continua positiva definida en un intervalo finito a, b pero
tiene una asíntota vertical en b. Sea S la región no acotada bajo la gráfica de f y arriba del
eje x entre a y b. (Para integrales del tipo I, las regiones se amplían de forma indefinida en