calculo-de-una-variable-1

66 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
V EJEMPLO 9 Exprese ln a 1 2 ln b como un solo logaritmo.
SOLUCIÓN Usando las leyes 3 y 1 de los logaritmos
ln a 1 2 ln b ln a ln b 12
ln a ln sb
ln(asb)
La fórmula siguiente muestra que los logaritmos con cualquier base pueden expresarse
en términos del logaritmo natural
10
FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Para cualquier número positivo a (a 1), se tiene
log a x ln x
ln a
DEMOSTRACIÓN Sea y log a x. Entonces de (6), tiene a y x. Al tomar los logaritmos
naturales de ambos lados de esta ecuación, obtiene y ln a ln x. Por consiguiente
y ln x
ln a
Las calculadoras científicas tienen una tecla para logaritmos naturales, de modo que la
fórmula 10 permite usar una calculadora para obtener un logaritmo con cualquier base
(como se ilustra en el ejemplo siguiente). De manera análoga, la fórmula 10 permite dibujar
cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora graficadora (véase
ejercicios 43 y 44).
EJEMPLO 10 Evalúe log 8 5 con una aproximación hasta seis lugares decimales.
SOLUCIÓN La fórmula 10 produce
log 8 5 ln 5
ln 8 0.773976
y
1
0
FIGURA 13
1
y=´
y=x
y=ln x
x
Las gráficas de la función exponencial y e x y su función inversa, la función logaritmo
natural, se ilustran en la figura 13. Debido a que la curva y e x cruza el eje y con
una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y ln x cruza el eje x con una pendiente
de 1.
Al igual que todas las demás funciones logarítmicas que tienen una base mayor que 1,
el logaritmo natural es una función creciente que se define sobre (0, ) y el eje y es una
asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x se convierten en negativos muy
grandes en magnitud a medida que x se aproxima a cero.)
EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y ln(x 2) 1.
SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y ln x según se proporciona en la figura 13. Al utilizar
la transformación de la sección 1.3, vaya dos unidades hacia la derecha para obtener
la gráfica de y ln(x 2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la
gráfica de y lnx 2 1. (Véase la figura 14.)