calculo-de-una-variable-1

200 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
De esta manera,
De manera semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas se pueden
combinar con la regla de la cadena.
Para hacer explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior
f es una función potencia. Si y tx n , entonces puede escribir y fu u n , donde
u tx. Si aplica la regla de la cadena y, a continuación, la regla de la potencia, obtiene
dy
dx dy
du
d
du
sen u cos u
dx dx
du
dx
nu
n1
du
dx ntxn1 tx
4 REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON LA REGLA DE LA CADENA
cualquier número real y u tx es derivable, entonces
Si n es
d
dx u n n1
du
nu
dx
De modo alternativo,
d
dx txn ntx n1 tx
Advierta que la derivada del ejemplo 1 pudo calcularse al tomar n 1 2 en la regla 4.
EJEMPLO 3 Derive y x 3 1 100 .
SOLUCIÓN Si, en (4), se toma u tx x 3 1 y n 100, tiene
dy
dx d dx x 3 1 100 100x 3 1 99 d dx x 3 1
100x 3 1 99 3x 2 300x 2 x 3 1 99
1
V EJEMPLO 4 Encuentre fx si f x
.
s 3 x 2 x 1
SOLUCIÓN En primer lugar, reescriba f: f x x 2 x 1 13 .
De este modo
f x 1 3x 2 x 1 43
1 3x 2 x 1 43 2x 1
d
dx x 2 x 1
EJEMPLO 5 Encuentre la derivada de la función
tt t 2 9
2t 1
SOLUCIÓN Si se combina la regla de la potencia, la de la cadena y la del cociente, obtiene
tt 9 t 2
2t 1
8 d
t 2
dt 2t 1
9 t 2
2t 1
8 2t 1 1 2t 2 45t 28
2t 1 2 2t 1 10