calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 115
cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los límites establecidas
en la sección 2.3 se demuestran usando la definición 2 y luego los límites de
funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de los
límites sin recurrir directamente a la definición.
Por ejemplo la ley de la suma: si existen tanto lím xl a fx L como lím xl a tx M
entonces
lím f x tx L M
x l a
Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F.
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA
d 0 tal que
Se proporciona e 0. Es necesario determinar
si 0 x a d entonces fx tx L M e
&
Desigualdad triangular
a b a b
(Véase apéndice A.)
Si usa la desigualdad triangular puede escribir
5
f x tx L M f x L tx M
f x L tx M
Haga que fx tx L Msea menor que e dejando que los términos
fx L y tx M sean menores que e2.
Puesto que e2 0 y lím xl a fx L, existe un número d 1 0 tal que
si 0 x a d 1 entonces
f x L 2
De manera similar, puesto que lím xl a tx M, existe un número d 2 0 tal que
si 0 x a d 2 entonces
tx M 2
Sea mín 1 , 2 . Observe que
si 0 x a d entonces 0 x a d 1 y 0 x a d 2
de modo que
f x L 2
y
tx M 2
Por lo tanto, de acuerdo con (5)
fx tx L M fx L tx M
2 2
Para resumir,
si 0 x a d entonces fx tx L M e
De esta manera, según la definición de límite,
lím f x tx L M
x l a