calculo-de-una-variable-1

A2 |||| APÉNDICE A NÚMEROS, DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS
A
NÚMEROS, DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS
El cálculo está basado en el sistema de los números reales. Empieza con los enteros:
..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
A continuación construimos los números racionales, que son razones entre enteros. Así,
cualquier número racional r se puede expresar como
r m n
donde m y n son enteros y n 0
Ejemplos son
1
2
3 7
46 46 1
0.17 17
100
(Recuerde que la división entre 0 está siempre excluida, de modo que las expresiones como
0 y 0 no están definidas.) Algunos números reales, s2 por ejemplo, no se pueden expre-
3 0
sar como una razón entre enteros y por lo tanto se denominan números irracionales. Se
puede demostrar, con grados de dificultad variable, que los números que siguen también
son números irracionales:
s3
s5
s 3 2
sen 1
log 10 2
El conjunto de todos los números reales suele denotarse con el símbolo Cuando se usa
la palabra número sin más restricción, se dice que es “número real.”
Todo número tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces el
decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo,
1
2 0.5000... 0.50
157
495 0.317171717... 0.317
2
3 0.66666... 0.6
9
7 1.285714285714... 1.285714
(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite indefinidamente.) Por otra parte, si el
número es irracional, el decimal no es periódico:
s2 1.414213562373095...
3.141592653589793...
Si detiene la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar, obtiene una aproximación
al número. Por ejemplo, es posible escribir
3.14159265
donde el se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retenga,
mejor es la aproximación que obtiene.
Los números reales pueden ser representados por puntos en una recta, como se ve en la
figura 1. La dirección positiva (a la derecha) está indicada por una flecha. Escoja un punto
de referencia 0 arbitrario, llamado origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier
unidad conveniente de medida, cada número positivo x está representado por un punto
sobre la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número
negativo x está representado por un punto a x unidades a la izquierda del origen. De este
modo, todo número real está representado por un punto sobre la recta, y todo punto P sobre
la recta corresponde a exactamente un número real. El número asociado con el punto
P se denomina coordenada de P y la recta recibe entonces el nombre de recta coordena-