calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 459
61. Encuentre el valor promedio de f x x 2 ln x en el intervalo
1, 3.
62. Un cohete acelera al quemar su combustible de a bordo, de
modo que su masa disminuye con el tiempo. Suponga que la
masa inicial del cohete en el despegue (incluido su combustible)
es m, el combustible se consume a una proporción r, y los gases
de escape son expulsados con velocidad constante ve (respecto
al cohete). Un modelo para la velocidad del cohete en el tiempo
t es el que se expresa mediante la ecuación
donde t es la aceleración debida a la gravedad y t no es
demasiado grande. Si t 9.8 ms 2 , m 30 000 kg, r 160
kgs, y ve 3 000 ms , determine la altura del cohete un
minuto después del despegue.
64. Si f 0 t0 0 y f y t son continuas, muestre que
y a
0
vt tt ve ln m rt
m
63. Una partícula que se mueve a lo largo de una recta tiene velocidad
vt t 2 e t metros por segundo después de t segundos.
¿Qué tan lejos viajará durante los primeros t segundos?
f xtx dx f ata f ata y a
f xtx dx
65. Suponga que f 1 2, f 4 7, f 1 5, f 4 3, y f
es continua. Encuentre el valor de xfx dx.
x 4 1
0
Realice la sustitución y f x y después use la integración por
partes en la integral resultante para demostrar que
y
d
V x b 2xfx dx.
a
x=g(y)
y=ƒ
c
x=b
x=a
0 a
b x
68. Sea I n x2
sen n x dx.
0
(a) Muestre que I 2n2 I 2n1 I 2n .
(b) Use el ejercicio 46 para mostrar que
I 2n2
2n 1
I 2n 2n 2
(c) Use los incisos (a) y (b) para mostrar que
2n 1
2n 2 I2n1
I 2n
1
y deducir que lím n l I 2n1I 2n 1.
(d) Emplee el inciso (c) y los ejercicios 45 y 46 para mostrar
que
66.
(a) Use la integración por partes para mostrar que
(b) Si f y t son funciones inversas y f es continua, demuestre
que
y b
a
y f x dx xfx y xfx dx
f x dx bfb afa y f b
ty dy
[Sugerencia: use el inciso (a) y haga la sustitución
y f x.]
(c) En el caso donde f y t son funciones positivas y b a 0,
dibuje un diagrama para dar una interprepretación
geométrica del inciso (b).
(d) Use el inciso (b) para evaluar x e ln x dx .
1
f a
2
lím
n l 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 2n
2n 1
Esta fórmula se escribe por lo general como un producto
infinito:
2 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7
2n
2n 1
y se llama producto de Wallis.
(e) Se construyen rectángulos como sigue. Empiece con un
cuadrado de área 1 y una los rectángulos de área 1 de
manera alterna al lado o arriba del rectángulo previo (véase
la figura). Encuentre el límite de las relaciones de amplitud
a altura de estos rectángulos.
2
67. Se llegó a la fórmula 6.3.2, V x b 2xfx dx, por medio
a
de envolventes cilíndricas, pero ahora se puede usar la
integración por partes para demostrarla con el método de
división de la sección 6.2, por lo menos para el caso donde f
es uno a uno y, por lo tanto, tiene una función inversa t. Use
la figura para mostrar que
V b 2 d a 2 c y d
c
ty 2 dy