calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.2 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN |||| 537
se tiene
S y 1
0
2y 1
dx
dy 2
dx 2 y 1
e x s1 e 2x dx
0
2 y e
1 s1 u 2 du
(donde u e x )
2 y sec3 d
4
(donde u tan u y a tan 1 e)
& O emplee la fórmula 21 de la tabla de
integrales.
2 1 2[sec tan ln sec tan ]4
[sec tan lnsec tan s2 ln(s2 1)]
(por ejemplo 8 de la sección 7.2)
Puesto que tan e, se tiene sec 2 1 tan 2 1 e 2 y
S [es1 e 2 ln(e s1 e 2 ) s2 ln(s2 1)]
8.2
EJERCICIOS
1–4 Plantee, pero no evalúe, una integral para el área de la superficie
obtenida al hacer girar la curva respecto al (a) eje-x y (b) el eje-y.
1. y x 4 , 0 x 1
2. y xe x , 1 x 3
3. y tan 1 x, 0 x 1 4. x sy y 2
5–12 Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la
curva respecto al eje x.
5. y x 3 ,
6. 9x y 2 18,
7. y s1 4x,
8. y c a coshx/a,
9. y sen px,
0 x 2
10. y x 3
,
6 1
2x
2 x 6
1 x 5
0 x 1
1
2 x 1
11. x 1 3 y 2 2 32 , 1 y 2
12. x 1 2y 2 , 1 y 2
13–16 La curva dada se hace girar respecto al eje y. Encuentre el
área de la superficie resultante.
13. y s 3 x,
1 y 2
14. y 1 x 2 , 0 x 1
0 x a
15. x sa 2 y 2 , 0 y a2
16. y 1 , 1 x 2
4 x2 1 ln x 2
CAS
CAS
17–20 Use la regla de Simpson con n 10 para aproximar el área
de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje x.
Compare su respuesta con el valor de la integral producido por su
calculadora.
17. y ln x, 1 x 3 18. y x sx,
19. y sec x, 0 x 3 20. y e x 2
,
21–22 Use un CAS o una tabla de integrales para hallar el área
exacta de la superficie obtenida al hacer girar la curva dada
respecto al eje x.
21. y 1x, 1 x 2 22. y sx 2 1,
23–24 Use un CAS para hallar el área exacta de la superficie
obtenida al hacer girar la curva respecto al eje y. Si su CAS tiene
problema para evaluar la integral, exprese el área superficial
como una integral en la otra variable.
23. y x 3 , 0 y 1 24. y lnx 1,
0 x 1
25. Si la región x, y x 1, 0 y 1x se hace girar
respecto al eje x, el volumen del sólido resultante es finito
(véase el ejercicio 63 en la sección 7.8). Muestre que el área
superficial es infinita. (La superficie se muestra en la figura y
se conoce como trompeta de Gabriel.)
y
0
1 x 2
0 x 1
0 x 3