calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 479
EJEMPLO 6 Evalúe y 4x 2 3x 2
.
4x 2 4x 3 dx
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador no es menor que el del denominador, se
divide primero y se obtiene
Observe que la ecuación cuadrática 4x 2 4x 3 es irreducible porque su discriminante
es b 2 4ac 32 0. Esto significa que no se puede factorizar, de modo que no se
necesita usar la técnica de fracciones parciales.
Para integrar la función dada se completa el cuadrado en el denominador:
Esto hace pensar en hacer la sustitución u 2x 1. En tal caso, du 2 dx y
x u 12, de tal manera que,
y 4x 2 3x 2
4x 2 4x 3 dx y 1
4x 2 3x 2
4x 2 4x 3 1 x 1
4x 2 4x 3
4x 2 4x 3 2x 1 2 2
x 1
4x 2 4x 3 dx
x 1 2 y
x 1 4 y
1
2u 1 1
du x 1
u 2 4 y u 1
2
u 2 2 du
u
u 2 2 du 1 4 y
1
u 2 2 du
x 1 8 lnu 2 2 1 4 1
s2 tan1 u s2 C
x 1 8 ln4x 2 4x 3 1
4s2
tan1
2x 1
s2
C
NOTA En el ejemplo 6 se ilustra el procedimiento general para integrar una fracción
parcial de la forma
Ax B
ax 2 bx c
Se completa el cuadrado en el denominador y luego se hace una sustitución que lleva la
integral a la forma
y Cu D
u 2 a 2 du C y
donde b 2 4ac 0
u
u 2 a 2 du D y
1
u 2 a 2 du
Después, la primera integral es un logaritmo, y la segunda se expresa en términos de
tan 1 .
CASO IV & Qx contiene un factor cuadrático irreducible repetido.
Si Qx tiene el factor ax 2 bx c r , donde b 2 4ac 0, luego en lugar de la única
fracción parcial (9), la suma
11
A 1 x B 1
ax 2 bx c A 2 x B 2
ax 2 bx c 2 A r x B r
ax 2 bx c r