calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 481
se podría evaluar por el método del caso III, es mucho más fácil observar que si
u xx 2 3 x 3 3x, entonces du 3x 2 3 dx y, por lo tanto,
y
x 2 1
xx 2 3 dx 1 3 ln x 3 3x C
RACIONALIZACIÓN DE SUSTITUCIONES
Algunas funciones no racionales se pueden cambiar a funciones racionales por medio de
sustituciones apropiadas. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la
forma s n tx, en tal caso la sustitución u s n tx puede ser efectiva. Otros ejemplos
aparecen en los ejercicios.
EJEMPLO 9 Evalúe y sx 4 dx.
x
SOLUCIÓN Sea u sx 4. Después u 2 x 4, así que x u 2 4 y dx 2u du. Entonces,
y sx 4 u
dx y
x
u 2 4 2u du 2 u
y
2
u 2 4 du
2 y 1 4
u 2 4 du
Se puede evaluar esta integral, ya sea factorizando u 2 4 como u 2u 2 y por
medio de las fracciones parciales o al usar la fórmula 6 con a 2:
y sx 4
x
dx 2 y du 8 y
2u 8
du
u 2 4
1
2 2
ln u 2
u 2
C
2sx 4 2ln sx 4 2
sx 4 2
C
7.4
EJERCICIOS
1–6 Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales
de la función (como en el ejemplo 7). No determine los valores numéricos
de los coeficientes.
2x
1. (a) (b)
x 33x 1
2. (a)
x
x 2
(b)
x 2 x 2
x 2 x 2
3. (a)
x 4 1
1
(b)
x 5 4x 3 x 2 9 2
x 3
4. (a) (b)
x 2 4x 3
1
x 3 2x 2 x
2x 1
x 1 3 x 2 4 2
5.
(a)
x 4
x 4 1
x 4
(b)
1
6. (a) (b)
x 3 xx 2 x 3 x 6 x 3
7–38 Evalúe la integral.
x
r
7. y
8. y
2
x 6 dx r 4 dr
x 9
9. y
10. y
x 5x 2 dx
t 4 t 2 1
t 2 1t 2 4 2
1
t 4t 1 dt