calculo-de-una-variable-1

294 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
lím e 1x lím e t
x l 0 t l
y esto hace ver que x 0 es un asíntota vertical. Cuando x l 0 , tiene t 1x l , de
igual manera
lím e 1x lím e t 0
x l 0 t l
TEC En Module 4.3 puede practicar
usando la información gráfica sobre f
para determinar la forma de la gráfica
de f.
Cuando x l , tiene 1x l 0 de este modo,
lím e 1x e 0 1
x l
Esto demuestra que y 1 es una asíntota horizontal.
Calcule ahora la derivada. la regla de la cadena da
f x e 1x
Dado que e 1x 0 y x 2 0 para todo x 0, tiene f x 0 para todo x 0. Por esto,
f es decreciente sobre , 0 y sobre 0, . No hay número crítico, de forma que la
función no tiene máximo ni mínimo. La segunda derivada es
x 2
f x x 2 e 1x 1x 2 e 1x 2x
x 4
e 1x 2x 1
x 4
Como e 1x 0 y x 4 0, tiene f x 0 cuando x 1 y cuando
x 1 2 x 0 f x 0
. Por consiguiente, la curva es cóncava hacia abajo sobre (, 1 2
2) y cóncava
hacia arriba sobre ( 1 2, 0) y sobre 0, . El punto de inflexión es ( 1 2, e 2 ).
Para dibujar f, primero trace la asíntota horizontal y 1 (como una línea intermitente),
junto con las partes de la curva que están cerca de ella, en un esquema preliminar figura
13(a). Estas partes reflejan la información referente a los límites y al hecho de que
f es decreciente tanto sobre , 0 como sobre 0, . Advierta que ha indicado
que f x l 0 cuando x l 0 aun cuando f 0 no exista. En la figura 13(b) se termina el
dibujo incorporando la información referente a la concavidad y al punto de inflexión. En
la figura 13(c) se comprueba el trabajo con un aparato graficador.
y
y
y=‰
4
y=1
punto de
inflexión
y=1
0
x
0
x
_3 3
0
(a) Esquema preliminar
(b) Dibujo terminado
(c) Conformación por computadora
FIGURA 13