calculo-de-una-variable-1

518 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
REVISIÓN DE CONCEPTOS
7
REPASO
1. Enuncie la regla para la integración por partes. En la práctica,
¿cómo la emplea?
2. ¿Cómo evalúa x sen m x cos n x dx si m es impar? ¿Qué pasa si n
es impar? ¿Qué pasa si tanto m como n son pares?
3. Si la expresión sa 2 x 2 ocurre en una integral, ¿qué sustitución
se podría probar? ¿Qué pasa si ocurre sa 2 x 2 ? ¿Qué
pasa si aparece sx 2 a 2 ?
4. ¿Cuál es la forma del desarrollo en fracciones parciales de una
función racional PxQx si el grado de P es menor que el
grado de Q y Qx sólo tiene factores lineales distintos? ¿Qué
sucede si se repite un factor lineal? ¿Qué pasa si Qx tiene un
factor cuadrático irreducible (no repetido)? ¿Qué sucede si se
repite el factor cuadrático?
5. Enuncie las reglas para aproximar la integral definida f x dx
con la regla del punto medio, la regla del trapecio y la regla de
Simpson. ¿Qué esperaría que produjera la mejor estimación?
¿Cómo aproxima el error para cada regla?
6. Defina las siguientes integrales impropias.
y
a
y b
(a) f x dx (b) f x dx (c)
x b a
y
7. Defina la integral impropia f x dx para cada uno de los siguientes
casos.
(a) f tiene una discontinuidad infinita en a.
(b) f tiene una discontinuidad infinita en b.
(c) f tiene una discontinuidad infinita en c, donde a c b.
f x dx
8. Enuncie el teorema de comparación para integrales impropias.
x b a
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por
qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute al enunciado.
xx 2 4
A
1. se puede escribir en la forma .
x 2 B
x 2 4
x 2
x 2 4
2. se puede escribir en la forma
xx 2 4
A
.
x B
x 2 C
x 2
x 2 4
A
3. se puede escribir en la forma .
x B
x 2 x 4
2 x 4
x 2 4
A
4. se puede escribir en la forma .
x B
xx 2 4
x 2 4
5.
y 4
0
x
x 2 1 dx 1 2 ln 15
6. y 1
dx es convergente.
1
s2
x
7. Si f es continua, por lo tanto x f x dx .
límt l xt f x dx
t
8. La regla del punto medio es siempre más exacta que la regla
del trapecio.
9. (a) Toda función elemental tiene una derivada elemental.
(b) Toda función elemental tiene una antiderivada elemental.
10. Si es continua en y es convergente, entonces
x f
0, x f x dx
f x dx 1
es convergente.
0
11. Si f es una función continua decreciente en 1, y
límx l f x 0 , entonces f x dx es convergente.
x
12. Si x y tx dx son convergentes, entonces
a
f x dx
a
f x tx dx es convergente.
x
a
13. Si x f x dx y tx dx son divergentes, entonces
a a
f x tx dx es divergente.
x
a
14. Si f x tx y x tx dx diverge, entonces
0
también diverge.
x
x
1
x f x dx
0
EJERCICIOS
Nota: En los ejercicios 7.5 se provee práctica adicional en técnicas
5.
de integración.
y p2
sen 3 u cos 2 u du
6.
0
1–40 Evalúe la integral.
senln t
1. y 5 x
2. y 5
ye 0.6y dy
0 x 10 dx 7. y dt
8.
t
0
y
y
1
y 2 4y 12 dy
dx
se x 1
2 cos
3. 4. y 4 dt
y0
1 sen
1 2t 1 3
d
y 4
1
9. x 32 ln x dx
10. y 1
0
sarctan x
1 x 2 dx