calculo-de-una-variable-1

y
0 a
S
y=ƒ
y=©
6.1
FIGURA 1
S=s(x, y) | a¯x¯b, ©¯y¯ƒd
b
x
ÁREAS ENTRE CURVAS
En el capítulo 5 se define y se calculan áreas de regiones que están bajo las gráficas de funciones.
En este caso se usan integrales para calcular las áreas de regiones que quedan entre
las gráficas de dos funciones.
Considere la región S que se ubica entre dos curvas y f x y y tx y entre las rectas
verticales x a y x b, donde f y t son funciones continuas y f x tx para toda
x en a, b. (Véase figura 1.)
De la misma manera como se señala para áreas bajo curvas de la sección 5.1, divida S
en n franjas con igual anchura, y luego calcule el valor aproximado de la i-ésima franja
mediante un rectángulo con base x y altura f x* i tx*
i . (Véase figura 2. Si lo desea,
podría tomar todos los puntos de muestra como extremos derechos, en cuyo caso x* i x i .)
Por lo tanto, la suma de Riemann
n
f x* i tx* i x
i1
es una aproximación a lo que se intuyo que es el área de S.
y
y
f(x i
*)
f(x i
*)-g(x i
*)
0 a
_g(x i
*)
Îx
x i
*
b
x
0 a
b
x
FIGURA 2
(a) Rectángulo representativo
(b) Rectángulo de aproximación
Al parecer, esta aproximación es mejor cuando n l . Por lo tanto, defina área A de
S como el valor límite de la suma de áreas de estos rectángulos de aproximación.
1
A lím
n l
n
f x* i tx* i x
i1
Identifique el límite en (1) como la integral definida de
fórmula siguiente para el área.
f t. Por lo tanto, tiene la
2 El área A de la región limitada por las curvas y f x, y tx y las rectas
x a, x b, donde f y t son continuas y f x tx para toda x en a, b es
A y b
f x tx dx
a
Observe que en el caso especial donde tx 0, S es la región bajo la gráfica de f y
la definición general del área (1) se reduce a la definición anterior (definición 2 de la
sección 5.1).
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