calculo-de-una-variable-1

A46 |||| APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS
PRUEBA DE LA REGLA DE L’HOSPITAL Al suponer que lím x l a f x 0 y lím x l a tx 0.
Sea
L lím
x l a
f x
tx
Debe demostrar que lím x l a f xtx L . Defina
Fx f x
0
si x a
si x a
Gx tx
0
si x a
si x a
Entonces F es continua en I porque f es continua en x I x a y
lím Fx lím f x 0 Fa
x l a x l a
Del mismo modo, G es continua en I. Sea x I y x a. Entonces F y G son continuas
en a, x y derivables en a, x y G 0 ahí (porque F f ’ y G t). Por lo tanto,
por el teorema del valor medio de Cauchy, hay un número y tal que a y x y
Fy Fx Fa
Gy Gx Ga Fx
Gx
Aquí ha usado el hecho de que, por definición, Fa 0 y Ga 0. Ahora, si hace
x l a , entonces y l a (porque a y x), de modo que
lím
f x
x l a tx lím Fx
x l a Gx lím Fy
y l a Gy lím f y
y l a ty L
Un argumento similar muestra que el límite izquierdo también es L. Por lo tanto,
lím
x l a
f x
tx L
Esto demuestra la regla de L’Hospital para el caso donde a es finita.
Si a es infinita, sea t 1x. Entonces t l 0 cuando x l , de modo que
lím
x l
f x
tx lím f 1t
t l 0 t1t
lím
t l 0
f 1t1t 2
t1t1t 2
lím
t l 0
f 1t
t1t lím
x l
f x
tx
(por la regla de l’Hospital para a finita)
SECCIÓN 11.8
Para demostrar el teorema 11.8.3, primero necesita los siguientes resultados.
TEOREMA
1. Si una serie de potencias c n x n converge cuando x b (donde b 0), entonces
converge cuando x b .
2. Si una serie de potencias c n x n diverge cuando x d (donde d 0), entonces
diverge cuando .
x d