calculo-de-una-variable-1

662 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
longitud del eje menor es
km. Use la regla de
Simpson con n 10 para estimar la distancia que viaja el
planeta durante una órbita completa alrededor del Sol.
61. Encuentre el área de la región encerrada por la hipérbola
x 2 a 2 y 2 b 2 1 y la recta vertical que pasa por un foco.
62. (a) Si una elipse gira alrededor de su eje mayor, encuentre el
volumen del sólido resultante.
(b) Si gira alrededor de su eje menor, encuentre el volumen
resultante.
63. Sea Px 1, y 1 un punto sobre la elipse x 2 a 2 y 2 b 2 1 con
focos F 1 y F 2 y sean y los ángulos entre las líneas PF 1 ,
PF 2 y la elipse como en la figura. Demuestre que . Esto
explica cómo funcionan las cúpulas susurrantes y la litotricia.
El sonido que viene de un foco se refleja y pasa por el otro
foco. [Sugerencia: Use la fórmula del problema 17 de la
página 268 para mostrar que tan tan .]
64. Sea Px 1, y 1 un punto sobre la hipérbola x 2 a 2 y 2 b 2 1
con focos F 1 y F 2 y sean y los ángulos entre las líneas PF 1 ,
PF 2 y la hipérbola como se ilustra en la figura. Demuestre que
. (Ésta es la propiedad de reflexión de la hipérbola. Muestra
que la luz dirigida a un foco F 2 de un espejo hiperbólico, se
refleja hacia el otro foco .)
F 1
y
P
å
∫
F¡
0 F x
1.14 10 10 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
y
P(⁄, ›)
å
∫
F¡ 0 F x
≈ ¥
+ =1
a@ b@
F¡
P
F
10.6
En la sección precedente se definió la parábola en términos de un foco y una directriz,
pero se definió la elipse y la hipérbola en términos de dos focos. En esta sección se da un
tratamiento más unificado de los tres tipos de secciones cónicas en términos de un foco y
directriz. Además, si se coloca el foco en el origen, entonces una sección cónica tiene una
ecuación polar simple. La cual es una descripción cómoda del movimiento de planetas, satélites
y cometas.
1 TEOREMA Sea F un punto fijo llamado foco y l una línea fija llamada directriz
en un plano. Sea e un número positivo fijo conocido como la excentricidad.
El conjunto de los puntos P en el plano tal que
PF
Pl
(La relación de la distancia desde F a la distancia desde l es la constante e) es una
sección cónica. La cónica es
e
(a) una elipse si e 1
(b) una parábola si e 1
(c) una hipérbola si e 1