calculo-de-una-variable-1

EJEMPLO 7 Si se sabe que y , encuentre x x10 f x dx 17 x8 f x dx 12
10 f x dx
0 0 8
V
SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 375
SOLUCIÓN Por la propiedad 5
y 8
0
f x dx y 10
f x dx y 10
f x dx
8
0
de modo que
y 10
8
f x dx y 10
f x dx y 8
f x dx 17 12 5
0
0
Advierta que las propiedades 1 a 5 son verdaderas ya sea que a b, a b o a b.
Las propiedades que se enuncian a continuación, en las que se comparan tamaños de funciones
y tamaños de integrales, son verdaderas sólo si a b.
PROPIEDADES DE COMPARACIÓN DE LA INTEGRAL
6. Si f x 0 para a x b, entonces f x dx 0.
7. Si f x tx para a x b, entonces f x dx y b
tx dx.
8. Si m f x M para a x b, entonces
mb a y b
f x dx Mb a
a
y b
a
y b
a
a
y
M
m
0 a
FIGURA 16
y=ƒ
b
x
x b a
Si f x 0 , entonces f x dx representa el área debajo de la gráfica de f, de manera
que la interpretación geométrica de la propiedad 6 es simplemente que las áreas son
positivas. Pero se puede demostrar la propiedad a partir de la definición de una integral
(ejercicio 64). La propiedad 7 expresa que una función más grande tiene una integral más
grande. Se infiere de las propiedades 6 y 4 porque f t 0.
La propiedad 8 se ilustra mediante la figura 16 para el caso en que f x 0. Si f es continua
podría considerar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre el
intervalo a, b. En este caso, la propiedad 8 expresa que el área debajo de la gráfica de
f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que el área del rectángulo con
altura M.
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 8 Puesto que m f x M, la propiedad 7 plantea
y b
a
mdx y b
f x dx y b
Mdx
a
a
Si aplica la propiedad 1 para evaluar las integrales en el primero y el segundo miembros
obtiene
mb a y b
f x dx Mb a
a
La propiedad 8 es útil si lo que quiere se reduce a una estimación general del tamaño
de una integral sin las dificultades que representa el uso de la regla del punto medio.
EJEMPLO 8 Use la propiedad 8 para estimar y 1
e x2 dx.
0
SOLUCIÓN Debido a que f x e x 2 es una función decreciente sobre 0, 1, su valor
máximo absoluto es M f 0 1 y su valor mínimo absoluto es m f 1 e 1 .